陈晓平:归纳合理性与大弃赌定理

选择字号:   本文共阅读 1864 次 更新时间:2014-09-27 20:22:37

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陈晓平(华南师大) (进入专栏)  

  

   内容提要:

   归纳法的合理性受到十八世纪英国哲学家休谟的质疑以后,便成为哲学认识论所关注的焦点之一。主观主义(亦即私人主义或贝叶斯主义)概率归纳逻辑对休谟问题提出一个解决方案,本文将对此方案中的一个基本依据即“大弃赌定理”作深入的探讨,分析其成功和失误之处,并从中得出一些重要的启示。本文基本赞同克里斯坦森对动态大弃赌定理的否定和对静态大弃赌定理的肯定,并进一步指出,静态大弃赌定理虽然表明置信度作为概率的一种解释是恰当的,但与归纳合理性问题并无直接关系,因此,为解决休谟问题,必须另辟新径。本文最后一节将对关于休谟问题的豪森-厄巴赫方案和笔者的方案作一简要的比较。

  

  

   归纳法是从个别推出一般、从过去推出未来的思维过程。归纳法的合理性受到十八世纪英国哲学家休谟的质疑以后,便成为哲学认识论所关注的焦点之一。相当多的哲学家都对归纳合理性问题亦即休谟问题发表了见解,真可谓仁者见仁,智者见智;直到今天,情况仍然如此。笔者曾在一些文章中介绍和讨论了当代概率归纳逻辑的一个颇有影响的派别即主观主义或私人主义对归纳合理性问题的“解决”,(见[11]和[12])本文将对此方案中的一个基本依据即“大弃赌定理”(Dutch Book Theorem,有文献译为“荷兰赌定理”)作进一步的探讨,分析其成功和失误之处,并从中得出一些重要的启示。

  

   一、概率、置信度与公平赌商

   主观主义概率归纳逻辑把一个命题或事件A的概率Pr(A)解释为某一个人对A的置信度,在这种解释下,概率具有私人性和主观性。于是,这种概率是否具有某种程度的公共性和客观性便成为一个异常尖锐的问题被提了出来。主观主义的回答是肯定的,其理由主要有两点。其一,主观主义概率并不是一成不变的,而是根据经验证据不断地加以修正的,修正的逻辑依据是概率演算的一个定理即贝叶斯定理。主观主义概率论的“意见收敛定理”表明,随着证据逐渐地增加,最初人们对某一命题所具有的彼此不同的主观置信度最终将趋于一致,从而显示出这种概率的公共性和客观性来。其二,主观置信度具有某种客观的可测度性,即所谓的“公平赌商”(fair betting-quotient)。具体地说,一个人对一个命题A的置信度愈高,那么,当他为A的真实性进行赌博时,他愿下的赌注就愈高;反之,愈低。公平赌博是一种特殊的赌博,即它事先在赌者看来是既不输又不赢的赌博。正因为此,在公平赌博中,赌者愿意在结果揭晓之前随时与对方交换位置。如果在一个赌博中,赌者在结果揭晓之前不愿意与对方交换位置,那就意味着此赌博在他看来并不是公平的。对一个赌者x来说,决定一个赌博是否公平取决于他的赌商是否公平。赌商是赌者X所愿下的赌注d1与全部赌注S=d1+d2的比值,其中d2是其对手Y所愿下的赌注。如果赌商d1/S使x愿意与其对手y交换位置,那么,这一赌商对于x来说便是公平的。显然,赌商是客观可测度的,赌者是否愿意与其对手随时交换位置即赌博的公平性也是客观可测度的,这便决定了公平赌商是客观可测度的。

   主观主义把概率解释为置信度,又把置信度解释为公平赌商,这一作法得到一个定理的有力支持,这就是所谓的“大弃赌定理”。大弃赌(Dutch Book)指这样一种赌博,即无论所赌的那个命题是真是假,赌者都将输钱。大弃赌定理说的是:一个人要想在一组赌博中避免大弃赌,当且仅当,他对所赌命题的置信度亦即他的公平赌商满足概率演算公理。由于一个人接受一个大弃赌是不合理的,由大弃赌定理便得出一条合理性原则,即:一个人要想在一组赌博中避免不合理性,当且仅当,他的公平赌商满足概率演算公理。大弃赌定理是令人感兴趣的,它将概率演算公理与公平赌商进而与置信度紧密地联系在一起。下面我们将介绍这一定理的证明过程。在此之前,我们有必要介绍一下使大弃赌定理得以成立的模型即公平赌博,其规则如下:

   1、一个赌博体系是由一组赌博a1、a2、……、an构成的,这n个赌博涉及n个命题即A1、A2、……、An,其中每一个ai是关于一个命题Ai的真实性或虚假性的赌博。赌者X对每一个Ai的公平赌商等于他对Ai的置信度P(Ai),即d1(Ai)/[d1(Ai)+d2(Ai)]=P(Ai)。相应地,其对手Y的赌商为: d2(Ai)/[d1(Ai)+d2(Ai)]=1―P(Ai) 。

   2、在每一赌博ai中,赌者X同意与其对手Y随时交换位置,并且同意Y提出的任何赌金总额S(Ai)=d1(Ai)+d2(Ai)。 

    3、当X为Ai的真实性进行赌博时,其对手Y就为Ai的虚假性进行赌博。如果Ai为真,X得到全部赌金S(Ai),其纯收益就是Y所出的赌金d2(Ai)=S(Ai)(1―P(Ai))。如果Ai为假,全部赌金归Y,X输掉自己所出的赌金,其纯收益为―d1(Ai)=―S(Ai)P(Ai)。不难看出,无论Ai是真是假,Y所获纯收益与X的纯收益的绝对值相同而正负号相反。

    

   二、静态大弃赌定理

   静态大弃赌定理(即人们通常所说的大弃赌定理)是由拉姆齐(F.P.Ramsey)和菲耐蒂(B.de Finetti)于本世纪三十年代分别独立地提出和证明的。静态大弃赌定理只涉及初级代数因而对它的证明并不困难。这里所给出的证明主要参照了斯基尔姆斯(B.Skyrms)的更为清晰的表述(见[2]第6章或[1]第5章)。证明分为两个部分。第一部分证明,一个人的置信度满足概率演算公理是使他避免大弃赌的必要条件;第二部分证明 ,一个人的置信度满足概率演算公理是使他避免大弃赌的充分条件。前一部分比后一部分复杂一些。我们先证明前一部分。

   1、概率演算的第一条公理是:Pr(A)≥0。一个人对命题A的置信度P(A)也就是他为A的真实性打赌的公平赌商。这意味着,对一个赌金总额为1元的关于命题A为真的公平赌博,他将出赌金:1元×P(A)=P(A)元。现假定P(A)<0。根据赌博规则,如果A为真,他将赢得1元×(1-P(A))=(1+|P(A)|)元。如果A为假,他将得到-(1元×P(A))=|P(A)|元。他与其对手对调位置后,他便处于大弃赌的境地,即无论A为真还是为假,他总是输钱。 2、概率演算的第二条公理是:如果命题A是必然真的,那么Pr(A)=1。由于A是必然真的亦即A不可能是假的,所以,一个人为A真而进行的赌博总使他得到1元×(1-P(A))=(1-P(A))元。若P(A)>1,(1-P(A))元总为负值,这使他处于大弃赌境地。若P(A)<1,(1-P(A))元总为正值,他与对手交换位置后仍处于大弃赌境地。
3、概率演算的第三条公理是:对于两个互斥命题A和B,Pr(A∨B)=Pr(A)+Pr(B)。现假定一个人同时进行两个赌博,即赌金总额为1元的关于A真的赌博和赌金总额为1元的关于B真的赌博。可能出现的结果不外乎三种:A真而B假,A假而B真和A假而且B假。(由于A和B是互斥的,故不会出现A真并且B真)。他在这三种情况中相应的收益如表1所示。

  

   从表1中我们看到,前两种情况的收益是相同的,而且前两种情况都使得析取命题A∨B为真;第三种情况与前两种情况的收益不同并且使得A∨B为假。这表明,关于命题A和B的真实性的这两个赌博相当于关于析取命题A∨B的一个赌博,而且在这后一赌博中公平赌商恰恰是P(A)+P(B)。(这一点可以根据公平赌博的定义从表1中看出)这后一赌博及其收益如表2。

  

   关于A∨B的公平赌商等于关于A的公平赌商P(A)和关于B的公平赌商P(B)之和,这是符合概率演算公理3的。现假定某人关于A∨B的公平赌商P(A∨B)≠P(A)+P(B),赌金总额仍为1元。当他和对手交换位置后,他就是在为A∨B的虚假性进行赌博并且其公平赌商为1-P(A∨B)。我们把此赌博记为(iii),而把他分别为A和B的真实性进行的赌博记为(i)和(ii),这三个赌博构成一个赌博体系。前面已表明,(i)和(ii)合起来相当于一个关于A∨B的真实性的赌博,而且其公平赌商是P(A)+P(B)。这样,(i)、(ii)和(iii)合起来相当于两个关于A∨B的赌博,一个是关于其真实性的赌博,另一个是关于其虚假性的赌博。这一赌博的收益矩阵如表3。

  

   由表3可见,如果P(A∨B)<P(A)+P(B),那么,无论A∨B是真还是假,这个赌博体系的收益总是负值,这使赌者处于大弃赌的境地;如果P(A∨B)>P(A)+P(B),那么,无论A∨B是真还是假,收益总是正值,让他同对手交换位置后,他处于大弃赌境地。
4、概率演算中关于条件概率的定义是:如果P(B)>0,那么,Pr(A/B)=P(A∧B)P(B) 。与条件置信度相对应的赌商叫做“条件赌商”,条件赌商是关于条件赌博的赌商。什么是条件赌博呢?我们说,a是一个关于A相对于B的条件赌博,意为a是一个在B已表明为真的情况下进行的关于A的赌博,而当B为假时,此赌博不进行。公平条件赌商P(A/B)就是在B为真的情况下一个人为A的真实性而进行赌博的公平赌商。表4是关于A相对于B的条件赌博的收益矩阵。

  

   在表4中,“S”为赌金总额。我们看到,当B为假时,收益为0,因为在这种情况下此赌博不进行,当然任何一方都是既不输也不赢的。现假定某人同时进行两个赌博,一个是关于合取命题A∧B的真实性的赌博,并且赌金总额为P(B)元,此赌博记为(i)。另一是关于B的虚假性的赌博,并且赌金总额为P(A∧B)元,此赌博记为(ii)。他对A∧B的置信度为P(A∧B),对B的置信度为P(B)并且P(B)>0。相应地,他在(i)中的公平赌商是P(A∧B),在(ii)中的公平赌商是1-P(B)(注意,在(ii)中的公平赌商不是P(B),因为(ii)是关于B的虚假性赌博。)(i)和(ii)合起来构成一个赌博体系,其收益矩阵为表5。

  

  


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