陈晓平:归纳合理性与大弃赌定理

选择字号:   本文共阅读 3715 次 更新时间:2016-06-28 21:05

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陈晓平(华南师大) (进入专栏)  


内容提要:

归纳法的合理性受到十八世纪英国哲学家休谟的质疑以后,便成为哲学认识论所关注的焦点之一。主观主义(亦即私人主义或贝叶斯主义)概率归纳逻辑对休谟问题提出一个解决方案,本文将对此方案中的一个基本依据即“大弃赌定理”作深入的探讨,分析其成功和失误之处,并从中得出一些重要的启示。本文基本赞同克里斯坦森对动态大弃赌定理的否定和对静态大弃赌定理的肯定,并进一步指出,静态大弃赌定理虽然表明置信度作为概率的一种解释是恰当的,但与归纳合理性问题并无直接关系,因此,为解决休谟问题,必须另辟新径。本文最后一节将对关于休谟问题的豪森-厄巴赫方案和笔者的方案作一简要的比较。



归纳法是从个别推出一般、从过去推出未来的思维过程。归纳法的合理性受到十八世纪英国哲学家休谟的质疑以后,便成为哲学认识论所关注的焦点之一。相当多的哲学家都对归纳合理性问题亦即休谟问题发表了见解,真可谓仁者见仁,智者见智;直到今天,情况仍然如此。笔者曾在一些文章中介绍和讨论了当代概率归纳逻辑的一个颇有影响的派别即主观主义或私人主义对归纳合理性问题的“解决”,(见[11]和[12])本文将对此方案中的一个基本依据即“大弃赌定理”(Dutch Book Theorem,有文献译为“荷兰赌定理”)作进一步的探讨,分析其成功和失误之处,并从中得出一些重要的启示。


一、概率、置信度与公平赌商

主观主义概率归纳逻辑把一个命题或事件A的概率Pr(A)解释为某一个人对A的置信度,在这种解释下,概率具有私人性和主观性。于是,这种概率是否具有某种程度的公共性和客观性便成为一个异常尖锐的问题被提了出来。主观主义的回答是肯定的,其理由主要有两点。其一,主观主义概率并不是一成不变的,而是根据经验证据不断地加以修正的,修正的逻辑依据是概率演算的一个定理即贝叶斯定理。主观主义概率论的“意见收敛定理”表明,随着证据逐渐地增加,最初人们对某一命题所具有的彼此不同的主观置信度最终将趋于一致,从而显示出这种概率的公共性和客观性来。其二,主观置信度具有某种客观的可测度性,即所谓的“公平赌商”(fair betting-quotient)。具体地说,一个人对一个命题A的置信度愈高,那么,当他为A的真实性进行赌博时,他愿下的赌注就愈高;反之,愈低。公平赌博是一种特殊的赌博,即它事先在赌者看来是既不输又不赢的赌博。正因为此,在公平赌博中,赌者愿意在结果揭晓之前随时与对方交换位置。如果在一个赌博中,赌者在结果揭晓之前不愿意与对方交换位置,那就意味着此赌博在他看来并不是公平的。对一个赌者x来说,决定一个赌博是否公平取决于他的赌商是否公平。赌商是赌者X所愿下的赌注d1与全部赌注S=d1+d2的比值,其中d2是其对手Y所愿下的赌注。如果赌商d1/S使x愿意与其对手y交换位置,那么,这一赌商对于x来说便是公平的。显然,赌商是客观可测度的,赌者是否愿意与其对手随时交换位置即赌博的公平性也是客观可测度的,这便决定了公平赌商是客观可测度的。

主观主义把概率解释为置信度,又把置信度解释为公平赌商,这一作法得到一个定理的有力支持,这就是所谓的“大弃赌定理”。大弃赌(Dutch Book)指这样一种赌博,即无论所赌的那个命题是真是假,赌者都将输钱。大弃赌定理说的是:一个人要想在一组赌博中避免大弃赌,当且仅当,他对所赌命题的置信度亦即他的公平赌商满足概率演算公理。由于一个人接受一个大弃赌是不合理的,由大弃赌定理便得出一条合理性原则,即:一个人要想在一组赌博中避免不合理性,当且仅当,他的公平赌商满足概率演算公理。大弃赌定理是令人感兴趣的,它将概率演算公理与公平赌商进而与置信度紧密地联系在一起。下面我们将介绍这一定理的证明过程。在此之前,我们有必要介绍一下使大弃赌定理得以成立的模型即公平赌博,其规则如下:

1、一个赌博体系是由一组赌博a1、a2、……、an构成的,这n个赌博涉及n个命题即A1、A2、……、An,其中每一个ai是关于一个命题Ai的真实性或虚假性的赌博。赌者X对每一个Ai的公平赌商等于他对Ai的置信度P(Ai),即d1(Ai)/[d1(Ai)+d2(Ai)]=P(Ai)。相应地,其对手Y的赌商为: d2(Ai)/[d1(Ai)+d2(Ai)]=1―P(Ai) 。

2、在每一赌博ai中,赌者X同意与其对手Y随时交换位置,并且同意Y提出的任何赌金总额S(Ai)=d1(Ai)+d2(Ai)。 

 3、当X为Ai的真实性进行赌博时,其对手Y就为Ai的虚假性进行赌博。如果Ai为真,X得到全部赌金S(Ai),其纯收益就是Y所出的赌金d2(Ai)=S(Ai)(1―P(Ai))。如果Ai为假,全部赌金归Y,X输掉自己所出的赌金,其纯收益为―d1(Ai)=―S(Ai)P(Ai)。不难看出,无论Ai是真是假,Y所获纯收益与X的纯收益的绝对值相同而正负号相反。

 

二、静态大弃赌定理

静态大弃赌定理(即人们通常所说的大弃赌定理)是由拉姆齐(F.P.Ramsey)和菲耐蒂(B.de Finetti)于本世纪三十年代分别独立地提出和证明的。静态大弃赌定理只涉及初级代数因而对它的证明并不困难。这里所给出的证明主要参照了斯基尔姆斯(B.Skyrms)的更为清晰的表述(见[2]第6章或[1]第5章)。证明分为两个部分。第一部分证明,一个人的置信度满足概率演算公理是使他避免大弃赌的必要条件;第二部分证明 ,一个人的置信度满足概率演算公理是使他避免大弃赌的充分条件。前一部分比后一部分复杂一些。我们先证明前一部分。

1、概率演算的第一条公理是:Pr(A)≥0。一个人对命题A的置信度P(A)也就是他为A的真实性打赌的公平赌商。这意味着,对一个赌金总额为1元的关于命题A为真的公平赌博,他将出赌金:1元×P(A)=P(A)元。现假定P(A)<0。根据赌博规则,如果A为真,他将赢得1元×(1-P(A))=(1+|P(A)|)元。如果A为假,他将得到-(1元×P(A))=|P(A)|元。他与其对手对调位置后,他便处于大弃赌的境地,即无论A为真还是为假,他总是输钱。 2、概率演算的第二条公理是:如果命题A是必然真的,那么Pr(A)=1。由于A是必然真的亦即A不可能是假的,所以,一个人为A真而进行的赌博总使他得到1元×(1-P(A))=(1-P(A))元。若P(A)>1,(1-P(A))元总为负值,这使他处于大弃赌境地。若P(A)<1,(1-P(A))元总为正值,他与对手交换位置后仍处于大弃赌境地。
3、概率演算的第三条公理是:对于两个互斥命题A和B,Pr(A∨B)=Pr(A)+Pr(B)。现假定一个人同时进行两个赌博,即赌金总额为1元的关于A真的赌博和赌金总额为1元的关于B真的赌博。可能出现的结果不外乎三种:A真而B假,A假而B真和A假而且B假。(由于A和B是互斥的,故不会出现A真并且B真)。他在这三种情况中相应的收益如表1所示。


从表1中我们看到,前两种情况的收益是相同的,而且前两种情况都使得析取命题A∨B为真;第三种情况与前两种情况的收益不同并且使得A∨B为假。这表明,关于命题A和B的真实性的这两个赌博相当于关于析取命题A∨B的一个赌博,而且在这后一赌博中公平赌商恰恰是P(A)+P(B)。(这一点可以根据公平赌博的定义从表1中看出)这后一赌博及其收益如表2。


关于A∨B的公平赌商等于关于A的公平赌商P(A)和关于B的公平赌商P(B)之和,这是符合概率演算公理3的。现假定某人关于A∨B的公平赌商P(A∨B)≠P(A)+P(B),赌金总额仍为1元。当他和对手交换位置后,他就是在为A∨B的虚假性进行赌博并且其公平赌商为1-P(A∨B)。我们把此赌博记为(iii),而把他分别为A和B的真实性进行的赌博记为(i)和(ii),这三个赌博构成一个赌博体系。前面已表明,(i)和(ii)合起来相当于一个关于A∨B的真实性的赌博,而且其公平赌商是P(A)+P(B)。这样,(i)、(ii)和(iii)合起来相当于两个关于A∨B的赌博,一个是关于其真实性的赌博,另一个是关于其虚假性的赌博。这一赌博的收益矩阵如表3。


由表3可见,如果P(A∨B)<P(A)+P(B),那么,无论A∨B是真还是假,这个赌博体系的收益总是负值,这使赌者处于大弃赌的境地;如果P(A∨B)>P(A)+P(B),那么,无论A∨B是真还是假,收益总是正值,让他同对手交换位置后,他处于大弃赌境地。
4、概率演算中关于条件概率的定义是:如果P(B)>0,那么,Pr(A/B)=P(A∧B)P(B) 。与条件置信度相对应的赌商叫做“条件赌商”,条件赌商是关于条件赌博的赌商。什么是条件赌博呢?我们说,a是一个关于A相对于B的条件赌博,意为a是一个在B已表明为真的情况下进行的关于A的赌博,而当B为假时,此赌博不进行。公平条件赌商P(A/B)就是在B为真的情况下一个人为A的真实性而进行赌博的公平赌商。表4是关于A相对于B的条件赌博的收益矩阵。


在表4中,“S”为赌金总额。我们看到,当B为假时,收益为0,因为在这种情况下此赌博不进行,当然任何一方都是既不输也不赢的。现假定某人同时进行两个赌博,一个是关于合取命题A∧B的真实性的赌博,并且赌金总额为P(B)元,此赌博记为(i)。另一是关于B的虚假性的赌博,并且赌金总额为P(A∧B)元,此赌博记为(ii)。他对A∧B的置信度为P(A∧B),对B的置信度为P(B)并且P(B)>0。相应地,他在(i)中的公平赌商是P(A∧B),在(ii)中的公平赌商是1-P(B)(注意,在(ii)中的公平赌商不是P(B),因为(ii)是关于B的虚假性赌博。)(i)和(ii)合起来构成一个赌博体系,其收益矩阵为表5。




请注意,当B为假时,A∧B也为假;这使得表5的真值组合只有三种,第三种实际上是“假,假”,而不存在第四种“真,假”的情况。不难看出,表5相当于一个关于A相对于B的条件赌博的收益矩阵,其赌金总额为P(B)元,条件赌商为P(A∧B)P(B) 。这是与概率演算中关于条件概率的定义相符合的。现假定他关于A相对于B的公平条件赌商P(A/B)≠P(A∧B)P(B) ,那么,可以构造一个赌博体系使他处于大弃赌的境地。这个赌博体系是在(i)和(ii)基础上再加上两个赌博,即(iii):一个关于A为假相对于B的条件赌博,赌金总额为P(B)元,公平条件赌商为1-P(A/B)。(iV):一个关于B的真实性的赌博,赌金总额为[P(A∧B)-P(B)P(A/B)]元,公平赌商为他对B的置信度P(B)>0。表5为(i)和(ii)合起来的收益矩阵,在此基础上,很容易得到赌博体系(i)+(ii)+(iii)的收益矩阵,即表6。



在表6的基础上,又可得到赌博体系(i)+(ii)+(iii)+(iV)的收益矩阵,即表7。



从表7中我们看到,无论A∧B和B的真假情况如何,这个赌博体系的收益总是一样的即P(B)[P(B)P(A/B)-P(A∧B)]亦即P(B)2[P(A/B)-P(A∧B)P(B) )];既然已知P(B)>0,那么,如果P(A/B)≠P(A∧B)P(B) ,其收益要么总是正值,要么总是负值,这就使他处于大弃赌的境地。

以上给出了第一部分的证明,即一个人的置信度亦即公平赌商一旦违反概率演算公理,那么,这个人就不可避免地处于大弃赌的境地。这也就是说,置信度遵守概率演算公理是避免大弃赌的必要条件。接下来,我们给出第二部分的证明,即证明置信度遵守概率演算公理是避免大弃赌的充分条件。此证明需要借助于期望效用公式,即 EU(a)=U1Pr1+U2Pr2+……+UmPrm
在这里,EU(a)表示某一行为(或行为体系)a的期望效用,U1、U2、……、Um分别表示a的m个可能后果的效用; Pr1、Pr2、……、Prm分别表示行为者对各个可能后果的置信度。这也就是说,一个行为或行为体系a的期望效用是a的各个可能后果的效用的加权和,权就是各个可能后果的置信度。现在,我们让α表示一个赌博体系,它由a1 、a2 、…、an 这n个彼此独立的赌博组成,ai表示关于命题Ai的一个赌博。一个赌博的可能后果只有两种(注意:一个赌博体系的可能后果可以多于两种),即所赌命题Ai为真或为假亦即赢或输,分别由Ui1和Ui2表示两种后果的效用。相应地,Pri1=Pr(Ai),即Ai为真亦即赢的置信度,Pri2=Pr(ØAi),即Ai为假亦即输的置信度。根据定义,置信度Pr(Ai)就是关于Ai的真实性的公平赌商。因此,Ui1=Si(1-Pr(Ai));Ui2=-SiPr(Ai)。(Si是赌博ai的全部赌金)于是,赌博ai的期望效用为:
(1) EU(ai)=Si(1-Pr(Ai))Pr(Ai)-SiPr(Ai)Pr(ØAi)。
如果置信度满足概率演算公理,那么, Pr(ØAi)=1-Pr(Ai)。将此式代入式(1),则有:
(2) EU(ai)=Si(1-Pr(Ai))Pr(Ai)-SiPr(Ai)(1-Pr(Ai))=0?
式(2)表明,如果置信度亦即公平赌商满足概率演算公理,那么,按此进行的任何赌博ai的期望效用为0。相应地,由n个这样的赌博构成的赌博体系α的期望效用也为0;因为α的期望效用等于组成它的各个赌博a1、a2、……、an的期望效用之和,即UE(α)=UE(a1)+UE(a2)+……+UE(an) 。对此作以下简单证明:
a1和a2是分别关于命题A1和A2的两个赌博,其收益矩阵分别是:

于是,这两个赌博之和的收益矩阵是:

这个赌博体系的期望效用是:

Pr(A1∧A2)(a+c)+ Pr(A1∧ØA2)(a-d)+Pr(ØA1∧A2)(c-b)+ Pr(ØA1∧ØA2)(-b-d)

即:aPr(A1∧A2)+cPr(A1∧A2)+aPr(A1∧ØA2)-dPr(A1∧ØA2)+cPr(ØA1∧A2)-bPr(ØA1∧A2)

-bPr(ØA1∧ØA2)-dPr(ØA1∧ØA2)

即:a[Pr(A1∧A2)+ Pr(A1∧ØA2)]-b[Pr(ØA1∧A2)+Pr(ØA1∧ØA2)]+c[Pr(A1∧A2)+ Pr(ØA1∧A2)]

-d[Pr(A1∧ØA2)+Pr(ØA1∧ØA2)]

即:aPr(A1)-bPr(ØA1)+cPr(A2)-dPr(ØA2)

其中aPr(A1)-bPr(ØA1)恰是a1的期望效用,cPr(A2)-dPr(ØA2)恰是a2的期望效用。可见,该赌博体系的期望效用等于组成它的两个赌博的期望效用之和。这个证明可以推广到包含更多赌博的赌博体系上去。显然,由公平赌博组成的赌博体系仍然是公平的,即其期望效用为0。

接下来的问题是,赌博体系α的期望效用为0是否意味着α的效用不可能总为正值或总为负值?若是,则α不可能是一个大弃赌;否则,α可能是一个大弃赌。

说α是一个大弃赌,就是说,无论α所涉及的一组命题A1、A2、……、An的真值情况如何,α的效用总是正值或总是负值,而在这种情况下,α的期望效用就不可能是0。因为EU(α)=U1 Pr1+U2 Pr2+……+Um Prm(在这里,Ui和Pri分别表示A1、A2……、An的任何一种真值组合下的效用和置信度),既然Pri≥0,那么,在U1、U2、……、Um均为正值或均为负值的情况下,仅当Pr1、Pr2、……Prm均为0,才能使EU(α)=0。然而,根据概率公理,Pr1+Pr2+……+Prm=1(因为A1 、A2、……、An的全部m种真值组合的析取是一必然事件并且每两种真值组合是互斥的),所以,Pr1、Pr2、……、Prm不能均为0。这表明,在置信度满足概率演算公理条件下,如果赌博体系α的期望效用为0,那么α的效用不可能总为正值或总为负值,因此a不可能是一个大弃赌。前面表明,置信度满足概率演算公理的公平赌博体系的期望效用为0,所以,置信度满足概率演算公理是避免大弃赌的充分条件。


三、动态大弃赌定理?

贝叶斯定理是概率演算公理的一个逻辑后承,它提供了一种由无条件概率计算条件概率的方法。既然静态大弃赌定理已经表明置信度应当遵守概率演算公理,自然也就表明置信度应当遵守贝叶斯定理。在相当长的时期内,人们把假设h相对于证据e的条件概率Pr(h/e)理解为验后概率,即得到证据e之后关于h的置信度,于是理所当然地把贝叶斯定理看作根据证据由验前置信度过渡到验后置信度的合理性规则。特别是在菲耐蒂等人提出和证明了“意见收敛定理”之后,贝叶斯定理在主观主义概率归纳逻辑中占据着核心地位,以致“贝叶斯主义”成为“主观主义”或“私人主义”的代名词。菲耐蒂及其后继者乐观地认为,休谟提出的归纳合理性问题——即由已知事实决定有关未来事件的置信度的合理性问题——就此得以解决。

然而,哈金(Ian Hacking)指出,条件概率Pr(h/e)和验后概率Pre(h)之间是有根本性区别的:Pr(h/e)是在证据e出现之前就可确定的概率,即Pr(h/e)=Pr(h∧e)Pr(e) ,因此,条件概率是验前概率。而验后概率Pre(h)则是在证据e出现之后才能确定的概率,它与Pr(h/e)在逻辑上是相互独立的,因此,二者不必相等。(参见[6])自此以后,人们开始考虑如何为Pre(h)=Pr(h/e)进行辩护的问题。哈金把Pre(h)=Pr(h/e)称为“动态假设”(the dynamic assumption),另一些人把它称为“更新规则”(the updating rule)或“条件化规则”(the rule of conditionalisation)。

为动态假设辩护的一条自然而然的思路就是将静态大弃赌定理加以推广,从而得到动态大弃赌定理。动态大弃赌定理说的是,一个人的置信度一旦违反动态假设,即Pre(h)≠Pr(h/e),那么, 他将不可避免地面临大弃赌。最早考虑动态大弃赌定理的是刘易斯(David Lewis),其基本思想在泰勒(Paul Teller)那里得到更充分的表述。(参见[4])下面以较为简单的方式给出此论证。(参见[3]或[1]pp.100-101)?

假定某人的置信度不满足动态假设,即Pre(h)≠Pr(h/e)。现在让他进行一组赌博:(i)进行一个关于h的真实性相对于e的条件赌博,赌金总额为1元,公平赌商为Pr(h/e)。(ii)进行一个关于e的真实性的赌博,赌金总额为[Pr(h/e)-Pre(h)]元,公平赌商为Pr(e)且Pr(e)>0。(iii)在e表明为真之后,进行一个关于h的虚假性的赌博,赌金总额为1元,公平赌商为1-Pre(h)(注意:若是关于h的真实性的验后赌博,赌商为Pre(h))。赌博体系(i)+(ii)+(iii)的收益矩阵为表8。

从表8中我们看到,由于Pr(e)>0,所以,如果Pre(h)≠Pr(h/e),那么,无论结果是什么,该赌博体系的收益要么总为负值,要么总为正值,因而构成大弃赌。


四、克里斯坦森对动态大弃赌定理的批评

对动态大弃赌定理给予批评是不乏其人的,但在笔者看来,克里斯坦森(David Christensen)的批评是正中要害的和致命的。(参见[5])克里斯坦森指出大弃赌定理的意义在于认识论的,而不在于实用的;具体地说,大弃赌定理的意义在于表明所讨论的置信度具有某种不一致性,而不在于它必然导致金钱上的损失。事实上,金钱的损失与大弃赌的认识论意义是毫无关系的。为说明这一点,克里斯坦森构造了如下两个大弃赌

一个是所谓的“双人大弃赌”。假定我和我的妻子出门购买东西。我对今天不下雨的置信度是75%,我的妻子比较保守,她对今天不下雨的置信度是50%。我们俩一同来到赌场庄家(a bookie)那里。我以75%的公平赌商为今天不下雨打赌,因此我出3元而庄家出1元。我的妻子以50%的公平赌商为今天下雨打赌,因此,她和庄家各出2元。尽管这两个赌博分别对我和我的妻子来说是公平的,但庄家却肯定能从这两个赌博中赢得1元钱,而无论今天是否下雨。因为,如果今天下雨,他赢我3元而输我妻子2元;如果今天不下雨,他输我1元而赢我妻子2元。由于我和我妻子的财产是共有的,这就意味着,我们俩合起来打了一个“大弃赌”。

现在问题是,大弃赌的真正意义何在?如果说大弃赌的真正意义在于显示了一种实用上的不合理性即必然导致金钱上的损失,那么上述双人大弃赌也具有这种不合理性。但是,人们并不会因此指责我的置信度有什么不合理,也不会如此指责我的妻子,而且不会指责我们两人的置信度是不一致的;因为夫妻二人对未来事件持有不同的置信度不仅是常常发生的,而且是在情理之中的。由此可见,双人大弃赌与经典大弃赌(即静态大弃赌)有着本质的不同,其不同点在于,经典大弃赌所显示的是一个人的置信体系内的不一致性,而双人大弃赌显示的是两个人的置信体系之间的不一致性。前者是值得关注和避免的,而后者是不值得关注和避免的。这进而表明,大弃赌的真正意义在于,它所显示出的是一个人的置信体系内的不一致性,亦即认识论的不合理性,而不是它所导致的金钱上的损失亦即实用上的不合理性。

另一个赌博例子是所谓的“先知先觉的大弃赌庄家”(the Prescient Dutch Bookie)。让我们设想一个先知先觉的庄家,他比经典大弃赌中所设想的庄家具有更强的透视力和预见力。他不仅知道你现在的置信度分布,而且知道你在一个小时之后的置信度分布。又假定你的置信度在一个小时之后确实发生了变化。这个庄家很容易构造一组赌博,其中有些赌博现在进行,并且对你现在的置信体系而言是公平的;有些赌博在一个小时之后进行,并且对你变化后的置信体系的公平的;然而,这组赌博合起来却使你处于必输境地,无论结果如何。

如果上述的先知先觉的大弃赌庄家对我们的置信度的合理性有什么约束力的话,那么,我们的置信度无论在任何时候任何地点发生任何变化都是不合理的,因为只要你的置信度有任何变化,你就不可避免地遭遇这位先知先觉的庄家所设置的大弃赌。然而,事实上,没有人认为只有一成不变的置信体系是合理的,因而没有人会为这位先知先觉的大弃赌庄家而烦脑。原因何在呢?也许有人认为,原因在于这位先知先觉的庄家离现实太远,与人们的实际赌博行为没有直接关系。然而,经典大弃赌中所设想的庄家也是非常聪明因而是很不现实的,为什么大家却认为经典大弃赌对于置信体系的合理性有很大的约束力呢?克里斯坦森指出,真正的原因在于经典大弃赌所显示的是一个人在同一时间所具有的置信体系之内的不一致性,而上述先知先觉的大弃赌庄家所显示的是一个人在不同时间所具有的置信体系之间的不一致性。只有前一种不一致性才具有认识论上的不合理性,而后一种不一致性正如两个人的置信体系之间的不一致性是不足为怪的,根本构不成认识论上的不合理性。?

现在让我们回顾前面所表述的刘易斯-泰勒关于动态大弃赌定理的证明。在此证明中,庄家的赌博体系包含三个赌博,其中(i)和(ii)是在获得证据e之前进行的,而(iii)是在获得证据e之后进行的。可见,刘易斯-泰勒的大弃赌正如先知先觉的庄家所设置的大弃赌是历时性的(diachronic)而不是共时性的(synchronic)。既然置信体系的历时性的不一致性是无害的甚至是必需的,那么,避免这种历时性的不一致性就不能成为一条合理性原则,这也就是说,动态大弃赌定理作为合理性原则的理由是不成立的。

刘易斯和泰勒以及后来范•弗拉森和索贝尔(J.H.Sobel)等人提出动态大弃赌定理是为了给动态假设Pre(h)=Pr(h/e)提供辩护,既然此定理作为合理性原则不成立,那么,他们对动态假设的辩护是不成功的。克里斯坦森告戒人们:“如果谁想要使得某些形式的条件化(即动态假设——引者注)成为一个合理性要求,那么,他们必须通过另外的途径来寻求这种辩护。”([5],p.247)。与此同时,他安慰人们,尽管动态大弃赌定理不成立,但静态大弃赌定理仍然成立;这是因为动态大弃赌是历时性,而静态大弃赌则是共时性的而且是针对同一个人的,而同一个人的共时性置信体系必须保持一致,否则,它在认识论上就是不合理的。


五、对大弃赌意义的进一步澄清

笔者基本赞同克里斯坦森对动态大弃赌定理的否定和对静态大弃赌定理的肯定;也赞同他的这一观点:静态大弃赌的真正意义在于认识论上而不在于实用上,即在于它表明一个人在同一时刻的置信体系的内在不一致性,而不在于它必将导致金钱上的损失。正因为这样,只要一个人的置信体系使他面临潜在的的大弃赌就足以说明他的这一置信体系是不合理的,而无需等到他事实上进行一个大弃赌之后才能说明他的置信体系是不合理的。然而,由于许多作者把大弃赌的意义放在它将导致必输赌博上,这使得大弃赌定理的意义被曲解,因而受到一些本可避免的批评和指责。如伊尔斯(Ellery Eells)批评说,潜在的大弃赌并不导致金钱上损失,因为毕竟事实上没有一个超级赌博庄家无时无刻地监视着每个人的置信体系并且能够在这些置信体系违反概率演算公理时立即构造出一个大弃赌来。退一步讲,即使存在这样一个超级赌博庄家,许多人将出于对风险的厌恶或宗教上的顾虑或其他什么原因而拒绝进行所谓的“公平赌博”。(参见[7])应该说,伊尔斯的这一批评对于那些注重大弃赌的实用意义的人来说是正中要害的,然而,对于那些注重大弃赌的认识论意义的人来说则是不着边际的。

克里斯坦森不仅注重大弃赌的认识论意义,而且他认为大弃赌所指出的置信体系的不一致性与标准的演绎不一致性是平行的,而且这正是大弃赌的发现者拉姆齐和菲耐蒂的本意所在。([5],p.238,注脚)至于这种平行性体现在哪里,克里斯坦森并未给出具体的说明。在此,笔者就这一问题给以补充。

静态大弃赌定理是为了说明,一个人的置信体系遵守概率演算公理是使它避免潜在的大弃赌的充分必要条件,而一个人对一个命题A的置信度被定义为他为A的真实性而进行赌博的公平赌商。所谓公平赌商就是他所出的那部分赌金在赌金总额中所占的比例是公平的以致于他愿意与对方随时调换位置。从大弃赌定理的证明过程中我们看到,为了设置大弃赌,有时要求赌者以P(A)的赌商为A的真实性进行赌博,而有时则要求赌者以(1-P(A))的赌商为A的虚假性进行赌博;这后一要求相当于让赌者与其对手交换位置。赌者所以服从这一要求,就是因为他的置信度P(A)被定义为公平赌商。然而,由此得到的大弃赌却是不公平的,因为无论结果如何,大弃赌总使赌者输钱。这也就是说,大弃赌表明这个赌者的公平赌商是不公平的。这是一种语义分析性的不一致性,也就是克里斯坦森所说的与演绎不一致性相平行的不一致性。

接下来,笔者打算进一步澄清静态大弃赌定理与归纳合理性之间的关系。拉姆齐和菲耐蒂及其后继者们都把避免大弃赌的原则看作一条合理性原则。从某种意义上讲这是不无道理的,因为不避免大弃赌意味着不避免逻辑矛盾,因而是不合理的。但是请注意,大弃赌之所以能够指示出一个人的置信体系含有逻辑矛盾,是因为他的置信度被定义为他的公平赌商,否则,即使他的置信体系不遵守概率演算公理,他也不会面临大弃赌的,因为他将不同意和对方交换位置。由此可见,大弃赌实际表明的是:如果置信度被定义为公平赌商,那么,要使置信体系避免逻辑不一致性,当且仅当,置信体系遵守概率演算公理。至于置信度为什么应当被定义为公平赌商,大弃赌定理对此什么都没有说,故需另作说明。

在笔者看来,把置信度定义为公平赌商,这一作法的正当性来自人们的直觉或常识。从直觉或常识上讲,一个人对命题A的置信度愈高,他愿为A的真实性所下的赌注就愈高;反之,愈低。公平赌商是一种特殊的赌商,它使得赌者愿与对方交换位置。因此,公平赌商比一般赌商具有更强的可测度性。当一个人完全相信命题A的真实性,他关于A的真实性的公平赌商就是1;反之,如果他完全不相信命题A的真实性,那么,他关于命题A的公平赌商就是0。他对命题A的其他置信度则使他的公平赌商介于1和0之间。鉴于这种情况,公平赌商就可望成为主观置信度的一种客观测度。
我们知道,拉姆齐和菲耐蒂是把主观置信度作为对概率的一种解释,接着又把主观置信度解释为公平赌商。那么,主观置信度作为概率的一种解释是否恰当,就取决于公平赌商是否服从概率公理。大弃赌定理表明,不服从概率公理的“公平赌商”是不公平的,而服从概率公理的公平赌商不是不公平的。这也就是说,公平赌商是服从概率公理的,进而表明,主观置信度是服从概率公理的;这意味着,把主观置信度作为概率的一种解释是恰当的。
笔者认为,大弃赌定理的真正意义在于表明,把置信度作为概率的一种解释是恰当的。而恰当的解释并不是唯一的,而可以有多种,如把一个事件的概率解释为该事件在试验序列中的相对频率,或者解释为该事件所包含的基本事件在全部基本事件中所占的比例,等等。这后两种解释分别是概率的统计解释和古典解释,其恰当性是很直观的,很容易证明它们都满足概率演算公理。比较而言,把概率解释为置信度,其恰当性不太直观也不易证明,这就使得大弃赌定理具有显著的重要性。当然,在某种意义上,恰当性也是一种合理性,但这种合理性与归纳法的合理性是两回事。否则,主张频率解释的莱欣巴赫等人也不必为归纳合理性而绞尽脑汁了,因为相对频率作为概率解释的恰当性几乎是一目了然的。
动态假设关系到人们如何根据经验事实来修改对未来事件的主观置信度的问题,因此,动态假设的合理性问题是真正的归纳合理性问题。致力于证明动态大弃赌定理的人是在试图按照静态大弃赌定理的思路来为归纳合理性进行辩护,这条路注定是走不通的,其根本原因就在于他们把概率解释的恰当性与概率归纳的合理性混浠起来了。这进一步表明,克里斯坦森的断言是正确的,即:借助于动态大弃赌定理来为动态假设进行辩护是一条死胡同。([5]p.247)

六、为归纳合理性辩护的新思路

前面谈到,克里斯坦森令人信服地否定了动态大弃赌定理,并告戒人们要为动态假设(亦即条件化)的合理性进行辩护,就必须另劈新径。对此,豪森(Colin Howson)和厄巴赫(Peter Urbach)作出回应,他们对动态假设给出一个不借助于大弃赌的辩护。(参见[1],pp.103-105)?

豪森-厄巴赫指出:在一定条件的限制下,动态假设P’(h)=P(h/e)可以成为合理性原则(在这里,P’(h)相当于验后概率Pre(h),即在e被证实为真之后对h的置信度。)这个条件是:在你观察到e为真之后你关于h相对于e的条件概率P’(h/e)与在此之前的条件概率P(h/e)相比没有发生变化,即P’(h/e)=P(h/e)。其理由是:当e被证实为真之后,P’(e)=1,这使得P’(h/e)=P’(h)。既然P’(h/e)=P(h/e),所以,P’(h)=P(h/e)。

在这里,问题的关键在于,为什么应当使得P’(h/e)=P(h/e)。对此,豪森和厄巴赫在其补充说明中有所涉及。他们谈道:“科学证据几乎不可能演绎地将某些条件强加到你未来的置信状态中去。这确实是不可能的,除非一些更为古怪的关于量子力学的解释被证明是正确的。即使如此,条件化规则仅仅描述了这样一种方式,在其中一个理想的推理者——他已经计算出证据e在K(K即背景知识——引者注)上对于h的全部影响并表达为P(h/e)——将对e为真的消息作出回应。当然,我们当中没人是理想的推理者,因而不能看到所考虑命题e的全部后承,但是这并不能阻止我们应用贝叶斯装置的其余部分,对它们的正确应用需要某种关于演绎关系的知识,举例来说,正如对于加性公理(the additivity axiom),没有人类的理想推理者——甚至没有非人类的理想推理者——能够把握它们的全体。”([1],pp.104-105)。

笔者认为,豪森和厄巴赫在这里提出的两点理由都是不妥的。首先,科学证据常常是出人意料的。科学家们在实际观察后所得到的证据往往与他们事先设想的证据有所不同。例如,青霉素的发现超出其发现者事先设想的试验方案,完全是意外的收获。P’(h/e)表示在e被观察之后h相对于e的条件置信度,它与e在被观察到之前的条件概率P(h/e)是逻辑独立的,这一点哈金已经明确地指出。因此,豪森-厄巴赫在这里谈论科学证据有无可能演绎地影响未来的置信状态是不着边际的。其次,豪森-厄巴赫借助于一个具有超常预见力的理想推理者来说明P’(h/e)=P(h/e)的某种必然性,这也是极为不妥的,甚至是无意义的。因为对于这样一个可以预见未来的理想推理者,归纳推理就象演绎推理一样具有必然性,归纳法的合理性问题根本就不会产生,当然也就无需为动态假设作任何辩护。我承认,在关于科学方法论或科学哲学的讨论中,有时需要借助于理想条件;但是,被理想化的那部分内容一定无关于所讨论问题的解决,而仅仅使所讨论的问题更为清晰,正如静态大弃赌定理中所设想的那个聪明的赌博庄家。实际上,正因为那个假想的庄家非常狡滑,才使得大弃赌问题更为突出,更难对付。然而,与此相反,豪森-厄巴赫在这里所设想的理想推理者却使所要解决的问题不成问题了,因此,这种理想化是毫无意义的。鉴于以上原因,我认为豪森-厄巴赫为动态假设所作的辩护是不成功的。

笔者曾提出另一种辩护,(参见[9]第7章或[10])此辩护的关键在于给出一个新的合理性原则即“最少初始概率原则”。初始概率是相对于后继概率而言的。后继概率是可以由其他概率逻辑地推出的,而初始概率则不能由其他概率推出,只能凭借人们的直觉、情感等非理性因素加以确定。显然,一个置信体系内的初始概率愈多,其非理性因素愈多,因而愈不合理。据此,最少初始概率原则便有资格成为一条合理性原则。最少初始概率原则说的是:关于相同证据和相同假设的两个置信体系,初始概率较少的那个置信体系较为合理。

笔者还给出一个定理即“条件概率蕴涵化定理”。此定理说的是:如果Pr(h/e)=p,那么,□e→Pr(h)=p。在这里,□e解释为e被证实。根据这一定理,当e被证实后,那么便可由Pr(h/e)=p逻辑地推出Pr(h)=p,而这时的Pr(h)正是验后概率Pre(h),因此,Pre(h)=p=Pr(h/e)。这表明,根据动态假设由条件概率Pr(h/e)得出验后概率Pre(h)是有逻辑依据的,因而这样得出的验后概率属于后继概率。反之,如果不遵守动态假设即Pre(h)≠Pr(h/e),这样的验后概率Pre(h)不是后继概率而是初始概率。根据最少初始概率原则,前者是合理的,而后者是不合理的。

这一方案并不排除实际观察到的证据e’与预想的证据e有所不同的可能性。如果确实如此,那么有必要在得到证据e’之后重新计算条件概率Pr(h/e’),然后使得Pre’(h)=Pr(h/e’)。不过,在特殊情况下,e’与原有的背景知识是相冲突的,从而使得Pr(e’)=0。在这种情况下,Pr(h/e’)是无意义的,这意味着,此时条件概率是不存在的,于是,Pre(h)只能是初始概率。尽管如此,这并不违反最少初始概率原则,因为在这种情况下,对于那个推理者来说,并不存在一个具有较少初始概率的置信体系。

以上就是笔者为动态假设进而为归纳合理性进行辩护的基本思路。此方案一方面说明在正常情况下——即有条件概率Pr(h/e)的情况下——遵守动态假设是合理的;另一方面说明在反常情况下——即没有条件概率Pr(h/e)的情况下,动态假设虽然失效但也不会危及合理性原则即最少初始概率原则。这两方面合起来便说明,在根据经验事实修改置信度的过程中,遵守动态假设亦即遵守归纳原则是合理的,尽管其作用是有限的。不难看出,这种关于归纳合理性的说明和辩护是介于归纳主义与反归纳主义之间的;具体地说,在承认归纳合理性方面,它同于归纳主义而异于反归纳主义,在承认归纳作用的局限性方面它同于反归纳主义而异于归纳主义。应当说,这种辩护是比较恰入其分的。


主要参考文献

[1] C.Howson & P.Urbach, Scientific Reasoning: The Bayesian Approach. Open Court Publishing Company, 1993.

[2] B.Skyrms, Choice and Chance. Belmont: Wadsworth Publishing Company, 1977.

[3] B.Skyrms, `Dynamic Coherence and Probability Kinematics', Philosophy of Science, vol.54(1987), PP.1-20.

[4] P.Teller:‘Conditionalisation and Observation', Syntheses, vol. 26(1973) pp.218-258.

[5] D.Christensen, `Clever Bookies and Coherent Beliefs', The Philosophical Review, vol.c,No.2(1991).

[6] I.Hacking, `Slightly More Realistic Personal Probability', Philosophy of Science, vol.34(1967), pp.311-325.

[7] E.Eells, Rational Decision and Causality, Cambridge University Press, 1982.

[8] B.van Fraassen, `Belief and the Will', The Journal of Philosophy, vol. 81(1984), pp.235-256.

[9] 陈晓平:《归纳逻辑与归纳悖论》,武汉大学出版社,1994年。

[10]陈晓平:《关于休谟问题的一个解决方案》,载《自然辩证法通讯》1995年第2 期。
[11]陈晓平:《主观主义概率论对休谟问题的“解决”》,载《自然辩证法通讯》1994年第1期。
[12]陈晓平:《评哈金对私人主义概率论的改进》载《哲学研究》1994年第3期。

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