勾股定理的荣誉到底应该归谁?

选择字号:   本文共阅读 434 次 更新时间:2017-02-16 19:38:44

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江晓原 (进入专栏)  

   勾股定理本来只是一个相当普通的几何定理,只不过它在现实生活中有广泛的应用,使得它在一大堆几何定理中仿佛鹤立鸡群,有着特别大的知名度,围绕着发现或证明它的荣誉,也就出现了不少竞争者。

  

   是“毕达哥拉斯定理”还是“商高定理”?

     勾股定理在西方被称为“毕达哥拉斯定理”,毕达哥拉斯(Pythagoras)其人生活在公元前6、7世纪之交。其实在毕达哥拉斯之前一千多年,古代巴比伦人已经知道勾股定理,况且毕达哥拉斯本人是否对勾股定理作出过证明,至今并无确切证据。所以如果将毕达哥拉斯视为勾股定理荣誉的第一候选人,那他的资格并不牢靠。

     近代西学东渐之后,中国人得知这个在中国“古已有之”的定理,被西方人归于毕达哥拉斯名下,难免有些失落。这种失落感驱使一些中国学者加入了对勾股定理荣誉的争夺战。20世纪20年代,一些中国的数学教科书中开始将勾股定理命名为“商高定理”。这种做法在20世纪中叶之后一度得到不少人士的支持,其流风遗韵,直至已经开始改革开放的20世纪80年代,偶尔仍可一见。

     将勾股定理称为“商高定理”,理由是这样的:在中国古籍《周髀算经》中,全书第一节就记载着一个名叫商高的人,对周公讲了这样一段话:“析矩以为勾广三,股修四,径隅五。既方其外,半之一矩,得成三四五。两矩共长二十有五,是谓积矩。”这段话毫无疑问是在谈论勾股定理,而周公大约生活在公元前11世纪,商高既和周公谈话,当然是周公的同时代人,这就比毕达哥拉斯早了数百年,所以商高理应获得勾股定理的荣誉。

     可惜的是,上面这段推论中有两个严重问题。第一个问题,前辈数学史专家钱宝琮在1929年就指出了,他认为将勾股定理称为“商高定理”用意虽好,但“算学名词宜求信达,周公同时有无商高其人,《周髀》之术,姑不具论;藉曰有之,亦不过当时知有勾三股四弦五之率耳,不足以言勾股通例也。中国勾股算术至西汉时《周髀算经》撰著时代始有萌芽,实较希腊诸家几何学为晚。题曰商高,似属未妥。”

     另一个问题是,陈述一个定理,和证明一个定理,是两件非常不同的事情。例如“大偶数可表为两素数之和”是对哥德巴赫猜想的陈述,但对该猜想的证明至今尚未完成。商高和周公的谈话中,商高只是陈述了勾股定理在勾三股四弦五时的特例,既没有给出定理的普适形式,更未给出定理的证明。况且历史上是否真有商高其人,也还没有确切证据,因为在战国秦汉之际的著作中,托引古人是一种流行的修辞方式。所以商高如果作为勾股定理荣誉的候选人,他的资格还不如毕达哥拉斯牢靠。

                                    

   对勾股定理的370种证明

     在毕达哥拉斯身后的两千多年中,西方世界的学者不断给出各种各样的对勾股定理的证明,前后竟有370种以上。

     其中欧几里得(Euclid)在《几何原本》第一卷的命题47中,给出了一个特别简洁而优美的证明。他依据“等面积原理”,采用图形移补之法,证明了在直角三角形的普遍情形中,勾的长度所对应的面积,加上股的长度所对应的面积,其和恰好等于弦的长度所对应的面积,从而证明了勾股定理。后来一些著名的证明也继承了欧几里得的思路,比如达·芬奇(L. da Vinici)、威伯(Wipper)、爱泼斯坦(Epstein)、潘利迦(H. Perigal)等人的证明,依据的都是“等面积原理”。

     这里需要说一说《周髀算经》中涉及勾股定理的一些细节,因为这里有中国人和勾股定理之间历史渊源的足迹。除了前面说到的第一节中商高对周公陈述的勾股定理在勾三股四弦五时的特例,在第三节还有一处,在讨论如何立表来测日影时,也应用了勾股定理在勾三股四弦五时的特例,不过这次乘上了共同的系数2。

     但是,要在《周髀算经》中寻找超出勾三股四弦五特例的勾股定理踪迹,也不是一无所得的。在第四节中,出现了三个数值,根据上下文并进行数学运算,可以断定的是:这三组数值可以应用勾股定理求得,而此时应用的勾股定理并非勾三股四弦五的特例。当然这并未完全排除该三组数值由更为复杂的数学工具求得的可能性,但从《周髀算经》成书年代的历史背景来看,这种可能性非常之小。

     目前学术界主流的看法认为,《周髀算经》大约成书于公元前100年左右。在这个文本中,只出现了对勾股定理的陈述和应用,但是完全没有给出对勾股定理的证明。这里可以顺便提到,在古罗马工程师维特鲁威(Vitruvius)著名的《建筑十书》中,也只陈述了勾三股四弦五特例的勾股定理。《建筑十书》的成书年代与《周髀算经》约略相同(公元前1世纪),上距欧几里得给出对勾股定理的优美普适证明已有约两百年了。

     在《周髀算经》成书大约300年后,东汉末年的学者赵爽为《周髀算经》作注,赵爽给出了勾股定理的普适情形及有效证明,这才是中国人完成的对勾股定理的真正证明。赵爽依据的也是“等面积原理”,和欧几里得等人倒是不约而同,不过赵爽的工作比欧几里得晚了约五百年。

  

   荣誉争夺战中的“费厄泼赖”

     在梳理上述史实之后,我们已经可以清楚地看到,将勾股定理称为“商高定理”,是缺乏依据的。商高是否实有其人姑且不说,就算真有其人,《周髀算经》记载的他对周公的谈话中也没有给出勾股定理的普适情形,更没有给出证明。从年代上来说,无论是《周髀算经》的成书年代,还是赵爽给出勾股定理证明的年代,都明显在欧几里得之后,所以中国人在年代上也没有优先权。

     那么继续将勾股定理称为“毕达哥拉斯定理”有没有问题呢?看起来也有问题。因为现在不知道毕达哥拉斯是否给出过有效的证明——反正那370种证明中没有毕达哥拉斯的份。维特鲁威在《建筑十书》中也只是说,毕达哥拉斯“发现”了勾股定理,维特鲁威还记载轶事说:“他相信这一发现是由穆萨厄启示的,据说非常感谢,就向穆萨厄进献了牺牲。”但“发现”当然不等于证明,就像我们当然也可以将《周髀算经》中商高对勾股定理的陈述视为“发现”,但这不是证明。

     将勾股定理称为“欧几里得定理”也是不妥的。如果欧几里得可以获得此项荣誉,那么370种证明的提出者们都可以主张自己对此项荣誉的权利了。靠名头大小来决定也不能解决问题,比如达·芬奇的名头,也不见得比欧几里得小吧?况且欧几里得在《几何原本》中证明的定理也太多了,如何分辨“欧几里得定理”是指哪一个呢?恐怕他自己也不会太在乎这个相当初级的勾股定理吧?

     在搞科学史的人中间,确实有不少人对于“荣誉争夺战”情有独钟,他们喜欢为了某人的某项荣誉而精神抖擞地展开论战。平心而论,这种“荣誉争夺战”对于科学史研究有时也确实不无促进作用。不过在我看来,即使加入这种“荣誉争夺战”,也应该尽量讲求“费厄泼赖”,意气用事、民族沙文主义、将学术问题政治化或意识形态化等等,都是违背“费厄泼赖”精神的。最好的做法,应该是尽量避免开启战端——所以将这个朴素的定理就朴朴素素地称之为“勾股定理”,是最稳妥的。

  

   载《新发现》杂志2015年第10期

   科学外史(112)

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学友讨论

郑慈 2017-02-17 21:14:55

  没有经过论证的东西是不能称为定理的,顶多是个商高猜想。

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