本文选自《物理》2026年第10期

去年10月杨振宁先生安详辞世消息传出，中国物理学界和社会各界，无不深感悲痛。纷纷展开各种活动，纪念他科学成就的丰碑，怀念他伟大的人格和人生。在这些活动中或者过后，有一些亲朋好友好奇地问我：大家都听说过，杨先生是世界级和世纪级的极具影响力的物理学家；但谁能用几句话概括地说清杨先生的科学成就和历史地位？

我从70年代初开始，就受到杨先生的指点和教诲，追随研究他开创的理论物理和数学物理的新方向，也曾反复思考过以上问题。在此不揣冒昧，在纪念杨振宁伟大而传奇的一生之际，提出一些我的思考和看法，供大家讨论、指正。概括地说，我的表述是：杨振宁在物理学的白银时代承前启后、继往开来，重燃了爱因斯坦的统一场论和物理学几何化纲领的火炬。具体说来，就是构建非阿贝尔规范场的理论(亦称杨—米尔斯规范场理论)，以及提出规范不变性原理作为现代物理学的基本原理，不仅为后来被大量实验确证的粒子物理标准模型奠定了理论基础，而且为后来成为物质微观结构研究的新里程碑——粒子物理标准模型——的发展指明了方向和道路。

在此纪念杨振宁先生逝世周年之际，本文试图阐述以上有关杨先生学术成就和历史地位的概括表述，向读者通俗地介绍他的世纪性的伟大贡献。

杨振宁彪炳千秋的三大学术成果

概括杨振宁终生学术成就的三大成果，按重要性和按时间顺序都是：

(1)杨—米尔斯(Yang—Mills)规范场理论和规范不变原理，为后来粒子物理的标准模型奠基并指路；

(2)弱相互作用中宇称守恒定律的质疑，导致宇称不守恒的实验确认以及弱作用理论的定型；

(3)杨—巴克斯特(Yang—Baxter)方程。这是从一维多体系统的严格解中提炼出来的新型数学结构。

其中的第二项成果是和李政道合作完成的，他们共享了1957年诺贝尔物理学奖。这三大成果把杨振宁的名字镌刻在科学史上，包括物理学史和数学史上，名垂千古！

本文的重点在于解说杨先生的最重要的成就在于以上的第一项大成就，并强调他的独特过人的贡献。希望以后有机会再详尽地解说以上第二项和第三项大成就。

20世纪下半叶的物理学，粒子物理的标准模型的确立是一件大事。这是继元素周期表之后，人类探索物质结构的又一新的里程碑。在大约50年的时间里，一众顶流的物理学家(包括理论学家和实验学家)协同努力，将人类对自然界微观物质结构的认识，从原子的大小深入推进到比原子核小一千倍的尺度。空间尺度的这个历史性大跨越，也达到约一亿倍的量级。这项丰功伟业的完成，是由杨—米尔斯规范场理论和规范不变原理奠定理论基础的。是杨振宁在物理学的白银时代，高举爱因斯坦的统一场论大旗，重新点燃爱因斯坦物理学几何化的火炬所最终成就的。

杨先生所处的时代背景

20世纪是物理学空前蓬勃、迅猛发展的辉煌世纪。从基础物理学的角度，人类对于物质结构及其相互作用的动力学，在微观尺度上推进了至少18个数量级，即10的18次幂。这个理解物质结构的巨大空间尺度跨越，是分成两大步完成的。

第一大步是在对20世纪之前物理学的大颠覆中发生的。19世纪的物理学主要的进展在于热力学和宏观电磁学，其实验基础都在于研究日常生活尺度的物体系统；而化学和光谱学的研究开始触及原子层级。在20世纪的前30年里，相对论和量子力学接连横空出世。动体的电动力学研究，导致爱因斯坦提出狭义相对论(1905)，而后又推广到研究引力现象的广义相对论(1915)，统一了时间和空间(统称时空)；而时空的几何性质又和其中物质的运动相互影响，相互制约。这彻底颠覆了牛顿的绝对时间和绝对空间观念。爱因斯坦因而成为物理学甚至科学的代表人物。另一方面，量子论则进一步颠覆了牛顿的质点(粒子)动力学和麦克斯韦的经典电磁场(波动)理论，或叫经典电动力学。从普朗克的能量量子(1900)起，到狄拉克的电子场(或波函数)方程(1927)止，一众顶流的物理学家(包括爱因斯坦)协同努力多年，终于建立了统一粒子和波动(即满足场、粒二象性)的量子理论，作为物理世界新的普适的动力学框架。所以后人(包括杨振宁)把20世纪的前30年，称作物理学的“黄金时代”。

就认识自然界的空间尺度而言，在此黄金时代，物理学达到了一个空前的里程碑：量子力学的成型，完美地解释了原子的元素周期表，把两千多年前古希腊人的原子假说变成了现代科学的理论。从牛顿力学到量子力学，人类对自然界的认识在空间尺度上向微观的跨越，即从人体的大小(米的量级)到原子的大小(0.1纳米)，至少有100亿倍的数量级。这是人类对物质结构认识的空间尺度大跨越的第一大步。

此后原子核内中子的发现(1932)正式开启了对原子核和亚核粒子的研究。物理学就此开始向原子核以及亚核粒子的微观尺度新领域的进军。这标志着物理学开始进入“白银时代”。这个时代的特点是，把物理学“黄金时代”建立的相对论和量子论的一般原理，运用于探索物理学新的未知领域，快速地拓展人类对自然界各种尺度新系统和新现象的认知。不仅建立起微观世界的粒子物理标准模型，还开始研究厘米尺度以上的宏观量子系统。凝聚态系统的研究又催生了半导体、集成电路、激光和超导体等新技术，迅速地改变着人类社会的生活面貌。我们这里只讨论标准模型的建立过程(从1930年代初期到标准模型理论成型的1980年代初期)这50年，简称之为物理学的“白银时代”。

物理学在“白银时代”初期面临的挑战，不仅仅是空间尺度的变小，而且要面对前所未知的动力学相互作用。1890年代中期放射性的发现，特别是放射线的巨大穿透能力，预示了比化学能更高的能量尺度。在20世纪的第一个十年里，就已发现放射性物质其实发射出三种射线，用前三个希腊字母α、β、γ来命名。后来知道α射线由氦的原子核组成。β射线由电子或其反粒子(正电子)组成，而γ射线是极高频率的电磁波(即光子)。这三种射线都是在原子核内的物理过程产生的，更为有趣而绝非巧合的是，放射性的这三种射线恰好对应着自然界的三种基本相互作用或三种基本的力：α射线对应的是强(相互作用)力，把原子核中的质子和中子束缚在一起的力(也叫做核力)是它的一种表现。β射线对应于弱(相互作用)力，它是导致原子核衰变同时发射β射线的力。γ射线就对应于熟知的电磁(相互作用)力。这三种力再加上从牛顿时代人们就熟悉的引力，合称物理学中的四大基本(相互作用)力。电磁相互作用已被麦克斯韦理论很好地解释。电磁力和引力都是长程相互作用，在日常生活中就可以观察到。而强力和弱力都是短程力，它们的力程都不超过原子核的尺度。在20世纪之前，人类不知道这两种力的存在；它们是20世纪“白银时代”原子核和亚核粒子新物理学的研究对象。

1932年中子的发现开启了人类研究亚核尺度更深层次的物质结构及其动力学的伟大征程。当时人们没有料到的是，下一个里程碑的到来是如此之快。2012年欧洲联合核子研究机构的大型强子对撞机，发现了希格斯粒子，从实验上补全了粒子物理标准模型的最后一块拼图。迄今为止，所有的实验结果都和标准模型的预言一致，并未发现超出标准模型的证据。如此人类就达到了科学史上关于物质结构及相互作用动力学的一个新的辉煌的里程碑。这就是粒子物理标准模型的完全确立。这个里程碑所跨越的尺度是从原子的大小(0.1纳米)到原子核大小的千分之一(纳米的十亿分之一)。所花的时间，距离上一个(原子论的)里程碑不到一个世纪。为什么这么快？

我们下面将看到，杨—米尔斯规范场理论和规范不变性原理的提出，在通向物理学新的里程碑的过程中，起到了预告以及指路的作用，大大缩短了到达新里程碑的时间。

提出规范不变性原理的历史背景

杨振宁的学术生涯始于白银时代的早期。他50年代初在普林斯顿高等研究院做博士后，牛刀小试、初露锋芒，就已显示他是能在学术前沿上承前启后、呼风唤雨的人物。从而受到院长奥本海默(美国的“原子弹之父”)的赏识。在爱因斯坦晚年所在、一席难求的高等研究院，杨振宁于1955年就拿到具有很高学术地位的永久教授(Permanent Member)职位。

当时正是粒子物理实验蓬勃发展的初期，各种加速器和新型的探测器飞速发展，陆续投入运行，开启了粒子物理(又叫高能物理)的黄金时代。大量有关新粒子发现的实验数据和结果层出不穷，激动人心。那时研究粒子物理的理论家，都是在研究分析有关新粒子的实验数据，从中提炼出新粒子的性质、新的分类模式等等，并提出解释实验数据的理论新观念，发现实验数据中的可能的新问题，提出新的可能的实验来检验理论上的新观点等等。一句话，当时的粒子理论学家，就都是围绕新粒子的现象学(即总结、归纳新粒子的前沿实验数据和结果，从中寻找新的理论观念和新规律)开展工作。杨先生当然也不例外。当时他的主要精力也花在这些方面，并已成为粒子物理现象学前沿的一位青年专家。

到1953年，他已在美国普林斯顿的高等研究院工作了四年。那年秋天，他去纽约长岛布鲁克海文国家实验室(美国当时的加速器中心之一)学术访问一年。在那里，他重新捡起一个在芝加哥大学读研期间思考过而没有成功的问题，就是能否推广电磁场的麦克斯韦理论的问题。

当年他开始思考这个问题，最初也许是好奇心在驱使。但是到此时在布鲁克海文，他已有过新粒子现象学的经验了，他越发感到了这个问题的重要性和迫切性：现在已经发现了不少新粒子，未来估计还会发现更多的新粒子。这样，新粒子之间的相互作用，特别是它们之间的新型未知的强力和弱力，可能会变成理论研究的中心问题。而新粒子一多，它们的动力学运动方程(或者推导运动方程的最小作用量原理中的作用量)就必然包含许多项，会变得极其复杂。所以，理论上我们需要一个新的原则或原理去写新粒子的新的运动方程(或者作用量)。

这在当时是一个思维前瞻、思路独特的问题。也许不少习惯于现象学思维的人可能从来没有想过这个问题。或者偶尔想过但会认为，当时新粒子相互作用的实验数据和结果未必够，这个问题不具有解决的实验基础和理论基础：它是将来积累了相当数量的实验数据和结果后，才应该提出和解决的问题。但是，就在那个秋天，和同在一个办公室的米尔斯合作讨论，通过理性的思维，没有依赖实验的数据，他们就发明了一个新的思路，在理论上解答了这个问题。这就是杨—米尔斯非阿贝尔规范场理论和规范不变性原理文章的由来。

作为规范理论的麦克斯韦理论

要寻找支配新相互作用动力学的基础原则，突破口在哪里？借鉴历史，借鉴推广一百年前的麦克斯韦电磁理论，应该是一个好的自然的想法。

(其中f=f(x)是时空坐标的任意函数)保持电磁场强不变：。此外经典带电粒子的电荷和电流都在规范变换下不变，所以，麦克斯韦方程组在规范变换下不变，而这可追溯到电磁场的哈密顿量的规范不变性。在这个理论体系中，电磁势的规范不变性就有基本的重要性，尽管电磁势并未进入麦克斯韦方程组。但这里有一个令人困惑之处：理论上不知该怎么理解电磁势规范变换的特定形式和规范不变性的物理来源。

但是量子力学出来以后情况就不同了。在量子理论中，电子的波函数(或场)ψ(x)可取复数值，其中x代表时空点：(μ=0,1,2,3是时空坐标的指标)。标量势ϕ和矢量势，统称电磁势。因为只有波函数模的平方代表几率密度，我们可以对电子波函数做以下的相位变换：

同时保持物理不变；其中e是电荷，ℏ是普朗克常数，α是个角度参数(0≤α<2π)。在没有相互作用的情况下，这是自由电子的一个整体对称性变换，保持系统的作用量不变，从而导致电荷守恒定律。数学上，当参数α跑遍所有可能的值，这些变换形成一个群，叫做U(1)群。在量子场论中，每一个时空点上有一个量子态空间；上式中的参数α可以换为时空点的任意实值函数f(x)：

这种以时空函数作为参数的变换，代表不同时空点上波函数相位原点可以改变。这就是电子场(或波函数)的规范变换(或局域对称性变换)。下面我们将见到：规范不变性对电子的动力学将带来极强的限制。

由于场的时空偏导数不满足和场同样的变换，多出了一个附加项：

因而作用量或运动方程里有含电子场的(时空)偏导数因子的项，在规范变换(2)下就不再是不变(或协变)的。这个问题可以通过以下的办法来解决：第一步，引入规范势Aμ(x)以定义协变偏导数算子，即

第二步，处处用协变导数Dμ替代普通导数∂μ，

第三步，要求规范势的规范变换规则就是麦克斯韦理论中的规范变换(1)，这就保证了电子场的协变导数在规范变换(2)下确实是像场一样变换：

这里。这就是麦克斯韦理论中电磁势的规范变换规则的缘由。之前的第二步规则(4)，就是量子理论中引入电子与电磁势耦合(即相互作用)的“最小耦合替代规则”。

由此可见，经典的麦克斯韦理论中电磁势的规范变换和规范不变性，其根源在于量子场论的定域性，即带电粒子的场(或波函数)的局域位相变换不变性！这就是与量子场论中的电荷守恒定律密切相关的深刻的规范对称性！杨先生就是抓住了麦克斯韦理论是一个规范场理论的实质，要在对称性和规范场理论的水平上推广麦克斯韦理论。

杨—米尔斯非阿贝尔规范场理论

在电磁理论中规范群是U(1)群；交换两次规范变换的次序，并不改变结果，这属于可换群，又叫阿贝尔群。杨—米尔斯所做的推广就是把规范变换群推广到非阿贝尔(即不可交换的)群。考虑最简单的非阿贝尔群SU(2)。一个简单的物理例子，就是核子(组成原子核的粒子)，即质子(氢原子核)和中子。它们的电荷不同但质量接近，可以考虑为同一核子的两种不同内部状态。这很像电子的自旋向上和自旋向下的两个态，故叫做核子的同位旋态。数学上则用二分量(列向量)波函数来描写，很像一个量子位(qubit)的量子态：

核子的整体对称性变换就是一个2×2的么正矩阵U，作用在二分量波函数上：UU†=1。固定波函数的一个整体位相，我们要求此么正矩阵的行列式为1：det(U)=1。故此对称性变换群就是SU(2)群。和自旋1/2的情形类似，用指数形式来写就是：

其中αa (a=1, 2, 3)是三个角度参数，τa=σa/2，而σa是著名的泡利矩阵：

把参数αa都变成时空点的函数，我们就得到核子场的同位旋规范变换：

(下面将见到，实参数g就是和规范势的耦合常数。)

让我们通过定义协变导数而引入SU(2)规范势Aμa(x)：

其中a=1,2,3是群(的李代数)的指标。第二项中指标a的重复就意味着对该指标求和。然后我们要求规范势的规范变换规则是

不难验证，核子场的协变导数在规范变换下确实是像核子场本身一样变换：

有了这个结果，我们就可以放心地对自由核子场的作用量(或者运动方程)应用“最小耦合替代规则”：

从而得到核子和SU(2)规范场的耦合或相互作用时的作用量(或运动方程)。替代后的结果保证是在规范变换下不变或者协变。

到目前为止，一切看来顺利。杨先生说过，他在芝加哥大学读研时就拿到了这些结果。但是下一步卡壳了：像电磁场那样定义规范场强，是不行的：由于矩阵乘积的不可交换性，这样定义的场强在规范变换下没有简洁的变换规律。1953年秋冬在布鲁克海文，这个问题得到了解决：在这个定义方程的右边，加上规范势的二次项：

这里fbca是SU(2)群的结构常数：

可以验证：在规范变换下，如此定义的规范场强的规范变换是简洁的、协变的：

这样，麦克斯韦的电磁场的作用量形式上就很容易地推广成杨—米尔斯规范场的作用量：

它在洛伦兹变换和SU(2)规范变换下是不变量。对Aμa做变分，即得(无源的)杨—米尔斯场方程，是规范势的二阶非线性偏微分方程；不像麦克斯韦方程，它明显包含规范势。

标准模型中的夸克和轻子都是自旋1/2的粒子，满足狄拉克方程。自由的自旋1/2粒子的狄拉克作用量具有如下的形式：

(其中γμ是4个狄拉克矩阵，其形式对我们的讨论不重要。)在此作用量中，运用“最小耦合替代规则”(9)后得到(已取ℏ=1)：

其中的第二项就是描写自旋1/2的粒子和规范场(或粒子)耦合的作用量。把作用量(11)和(12)相加，并对规范势取变分，就得到形如下式的有源的杨—米尔斯方程：

这里的。上面讲的杨—米尔斯规范不变性理论，明显具有普适性。容易推广到许多别的群，只要群元素有连续的参数，其取值的范围又是有限的。麦克斯韦理论只是一个特例，而杨—米尔斯规范理论提供了很多的可能性供我们选择。注意到这种普适性质，杨和米尔斯1954年的原始文章的摘要中，就使用了“同位旋规范原理”的术语。又在正文中明确提出“所有粒子的相互作用都满足规范不变性”。这就是在物理学文献中首次提出规范(不变性)原理。

杨—米尔斯规范场理论文章的独特过人之处

关于非阿贝尔规范场理论和规范不变性原理，杨振宁和米尔斯在1954年发表了两个文件。一篇是为美国物理学会1954春季会议所写的摘要，另一篇是正式的研究论文，以粒子的同位旋为例，完整地构建SU(2)规范场理论，包括构建规范不变的杨—米尔斯作用量和规范协变的杨—米尔斯方程。这两篇分别发表在名刊Physical Review，1954，95：631和1954，96：191—195。

我把这两篇的标题和摘要翻译如下：

(1)C. N. Yang and R. L. Mills，“同位旋守恒和推广的规范不变性”(Phys. Rev.，1954，95：631)

摘要：同位旋守恒意味着存在一个基本的不变性规律，类似于电荷守恒。在后一情形下，电荷起着电磁场源的作用。这种情形下，一个重要的概念就是规范不变性，它和以下三件事都有密切关系：①电磁场的运动方程，②电流密度的存在，和③带电的场和电磁场的可能的相互作用。我们已尝试把这个规范不变性的概念推广到同位旋守恒。结果发现一个非常自然的推广是可能的。那个起着电磁场作用的场，是一个矢量场，它在即使不存在其他场的情形下依然满足非线性方程。(这是因为不像电磁场，这个场有同位旋，因而它也是自身的源。)流密度的存在是自然的，而且这个场与有任意同位旋的任何场的相互作用都具有确定的形式(可能的类似于电动力学中的反常磁矩项除外)。

(2)C. N. Yang and R. L. Mills，“同位旋守恒和同位旋规范不变性”(Phys. Rev.，1954，96：191—195)

摘要：本文指出，通常的同位旋转动不变性的原理与定域场的观念不相容。本文探讨了局域同位旋转动不变性原理的可能性。结果导致同位旋规范不变性原理的数学表述，以及一个b场的存在性，它与同位旋的关系就和电磁场与电荷的关系一样。这个b场满足非线性方程。b场的量子是自旋为1、同位旋为1、而电荷为±1或0的粒子。

从以上摘要，可以看出作者对于规范不变原理的重要性有极深刻的理解。第二篇摘要的开头两句就在场论的框架中区分了整体的(或global)同位旋转动不变性和局域的(即local)同位旋转动不变性。实际上这就把对称性分成了两类：即整体对称性(global symmetry)和局域对称性(local symmetry)，又称规范对称性(gauge symmetry)。

用一点数学的语言可以更清楚地看清二者的差别：前者(指整体对称)的变换参数(可能不只一个)是固定的实数，同一变换作用在所有时空点上的场；而后者(指规范对称)的规范变换，其参数是时空点坐标的函数，因而是不同的变换作用在不同时空点的场上。

从定域场的运动学观念看，不同时空点上的场看作是不同的动力学自由度，从而前者的要求似乎没什么道理，而后者的要求则是非常自然的。因为，譬如在电磁场论中，带电粒子场的规范变换意味着，在不同时空点上可以任意选择波函数相位的原点。在定域场论中，这不应改变任何物理。所以，电子的电磁相互作用理论，自然应当在电子场的规范变换(2)下不变。这就是定域场论自然该遵循的规范不变性原理。在我的印象中，杨先生在谈到场论中的对称性时，指的总是规范对称性。

如果从涉及的变换集合大小的角度来看，整体变换的集合小，局域变换的集合极其大。故就不变性带来的约束而言，整体对称性弱，而规范不变性就要强太多了。在量子力学中大家知道：整体对称性/不变性的后果是粒子的一个或几个总量子数守恒。而以上摘要告诉我们，对一个量子场论系统，一个带连续参数的群的规范对称性，会导致一系列强烈限制该场系统动力学的重大后果。首要的后果是预言一组自旋为1的粒子(或场)的存在性，它们是规范势场的量子，叫做规范粒子，其个数等于连续参数的个数。它的运动方程是非线性的杨—米尔斯场方程；非线性代表规范粒子之间有相互作用。场系统中的其他场，可以按照它们在规范群下的变换性质分类。(数学上就是按规范群的不可约表示分类。)它们和规范粒子的相互作用拉氏量也是完全确定的。规范粒子可以传递(或中介)其他场粒子之间的相互作用力：其他场对于杨—米尔斯场方程中右边的流项的贡献，也是完全确定的。此外，有关的守恒定律是局域的流密度守恒，这比系统的一个总荷的守恒要强太多。

这样，基本粒子之间的基本相互作用就可以用带连续参数的(规范)对称性群来定义和分类。这一套规范场理论的物理后果，后来在1970年代，被杨先生用一句话总结：(规范)对称性决定相互作用(Symmetry dictates interactions)。从基础物理学的视角，一个新原理——定域场论的规范不变性原理，简称为规范原理——诞生于1954年杨—米尔斯的文章。

我们这里顺便对规范场理论的历史做一个简单的评注：在1954年之前或同时，除了杨和米尔斯外，还有过几个人试图推广麦克斯韦理论的规范场。但是他们都没有正式发表论文，更没有提出规范(不变性)原理，也没有具体地构造出完备的规范场动力学理论，包括规范不变的拉氏量和协变的运动方程。其中一些人还试图用高维时空几何理论(即，试图推广五维时空的卡鲁查理论)。而杨—米尔斯文章躲过了高维时空这个坑，因为高维的时空会带来很多未曾观察到的物理后果，会影响规范理论的可信度。

转化泡利质量诘难为规范粒子的质量课题

1981年杨先生邀请我访问在长岛的纽约州立大学石溪分校(现为石溪大学)，他所组建的理论物理研究所(现已用杨振宁冠名)。一次闲聊中，我好奇地问起他，当年他写了规范场理论的合作文章之后的感觉如何？他用了两个英文的形容词：beautiful and powerful。我理解他是说：规范场理论是数学上美丽的，物理上强有力的。停顿一两秒后，他又加了一个英文形容词：but not straightforward。我当时的理解：他是说，规范不变性原理的理论实现模型和实验检验不是一帆风顺的。我只是在事后多年了解了更多的事实后才认识到，“but not straightforward”可能也包含接受和认可规范场理论和规范原理本身也有一个曲折的过程。

我多年后了解到一件有意思的轶事，就是泡利对非阿贝尔规范理论的著名“质量诘难”。1954年2月下旬，杨先生应奥本海默的邀请，回高等研究院作学术报告。讲的就是非阿贝尔规范场理论。开场不久，当他写下协变微分算子∂μ-igbμ (其中bμ就是新引入的规范势)时，坐在前排的泡利当即提问：b-粒子的质量是多少？杨回答：这是一个需要研究的问题；他和合作者研究过这个问题，一时尚无好的答案(大意)。泡利不认可这个答案，继续追问。僵持一段后，杨无奈坐下。奥本海默介入圆场：“我们应该让Frank(杨的英文称呼)继续吧。”杨才起立继续报告。

在外行看来，这里泡利和杨像是在打哑谜。但是双方和在座的许多人都清楚，他们讨论的是一个物理上重要且深刻的问题。其背景如下：大家熟知的量子电动力学，即量子的电磁场理论，公认光子是质量为零的规范粒子。原因在于任何微扰量子场论中，粒子质量都来源于其拉氏量中场的二次项的非零系数。但是电磁势的二次项不是规范不变的，故规范不变性不允许这样的项出现于光子的拉氏量中；所以光子的质量必须为零。同样的论证对于非阿贝尔规范理论似乎应该同样成立。我们又知道，量子理论中某种力的力程是和传递该种力的粒子质量成反比。所以，光子质量为零符合实验：光子传递的电磁力确实是长程力。另一方面，所有的实验都没有发现除引力和电磁力之外的长程力；特别是核子和亚核粒子已知的强力和弱力都是短程力。所以，在泡利看来，零质量的非阿贝尔规范粒子已经被实验排除，那么这种理论就没有考虑的必要。我把这个“论证”(argument)称之为泡利诘难，或规范粒子质量诘难。以我对粒子物理学史的了解，当时几乎所有的学者都是站在泡利一边的。

杨先生显然是知道这个诘难的。他没有直接答复或硬扛泡利的诘难。他对泡利的答复中已经提到：他和米尔斯在此前就曾认真研究过这个课题，没有得出确切的结论。他回布鲁克海文之后，又和米尔斯花了一段时间，试图通过讨论辅助(规范)条件，看可否分离出规范粒子的纵向模式。(此模式的存在应该和规范粒子的质量有关。)但计算十分复杂，他们的企图并未成功。经过几个月的延宕，杨—米尔斯的规范理论的著名文章终于写好寄出。Physical Review 杂志编辑部的收到日期是1954年6月25日，同年10月1日发表。

既然知道泡利诘难的存在，杨先生为何坚持要发表一篇规范场的文章？多年后他在“杨振宁论文选集，1945—1980”一书(C. N. Yang，Selected Papers 1945—1980，with Commentary，San Francisco：W. H. Freeman and Company，1983)中写道：“我们应该发表一篇规范场的文章吗？在我们的心中这从来不是一个真正的问题。这是个美妙的想法，应该发表。但规范粒子的质量到底是多少？我们没有确定的结论，只有令人沮丧的经验来显示非阿贝尔的情形比电磁学复杂得多。”所以在我看来，杨先生认为：非阿贝尔规范场理论的美妙，就足够保证它的可发表性。规范粒子的质量是一个复杂的开放课题，有待非阿贝尔规范理论框架中进一步的研究来解决。后来粒子物理发展的历史证明，理解规范粒子质量课题的解决方案，确实是发展规范理论和模型关键的一步。

我注意到，每次杨先生评价规范场理论，他用的第一个形容词，毫无例外，总是“beautiful”。我相信，这是杨先生把泡利的“质量诘难”转化为“质量课题”的强大信心的基本来源。

杨—米尔斯规范理论和粒子物理标准模型

本节中我们粗线条地描绘杨—米尔斯规范理论是如何为标准模型提供基础的。我们日常看到的物质由原子组成，而原子中有电子e-和核子(质子p和中子n)。核子是两种质量最轻的夸克(上夸克u和下夸克d)组成的：p=(uud)，n=(udd)。在原子核的弱衰变中，和电子一起连带产生的还有电子中微子νe。这四种粒子，电子和电子中微子(及其反粒子)又叫做轻子。夸克和轻子都是自旋1/2的粒子。除了可忽略的引力外，电子e-有电磁和弱作用，电子中微子νe有弱作用。u和d夸克，除电磁和弱作用外，还有三种“色荷”产生的强作用。这些基本相互作用可以用杨—米尔斯规范理论来描写：其规范群就是(直接乘积)。这里下标Y 代表超荷，L 代表左手态，C 代表“色荷”。我们分别讨论这些规范场和它们导致的物理效应与电磁、弱、强力之间的关系。

在研究强子(有强作用的粒子的简称)时发现的盖尔曼—西岛公式Q=I3+(Y/2)(I3：同位旋第三分量)意味着：电荷其实不是一个单纯的规范荷。对于轻子也是如此。此外，弱作用宇称不守恒意味着：只有左手性的夸克(或轻子)有弱作用，而右手性的没有。但是夸克和轻子的电磁作用是宇称守恒的，不区分手性的。初看来，这种复杂情况似乎意味着：电磁作用和弱作用是很难统一的。

不过，弱作用的规范理论还有一个知名的问题：如何得到非零的规范粒子质量。1960年代中期，这个问题意外受到凝聚态领域中超导理论研究的启发，得到了一种解决方案。超导体的一个特点是，它的内部是绝对反磁的：除表面薄薄的一层外，超导体内静磁场恒为零。这可以用超导体内磁矢量势的规范粒子获得质量来解释。而超导性的出现是因为在临界温度以下，超导体内发生了库珀(Cooper)电子对的凝聚，出现非零的序参数场，导致(整体)对称性的自发破缺。类似的机制可以发生在同位旋规范场理论中。序参数场可以通过引入一个同位旋I≠0的时空标量场来实现，它的凝聚可以通过调节该场的自作用位势而发生。凝聚体本身还有涨落：沿自作用位势底部的平坦方向的涨落，提供规范粒子的纵向模式，从而赋予规范粒子非零质量。沿垂直方向的涨落导致有质量的新标量粒子出现，文献中称为希格斯粒子。

一旦引入对称性自发破缺，UY(1)的规范势Bμ和SUL(2)的规范势Wμa的电中性(a=3)分量的质量矩阵可能不是对角的；质量矩阵的对角化，将导致它们之间的混合。对角化后应该出现两项，一项是电荷Q与电磁势Aμ(即光子)的耦合，另一项代表弱中性流的耦合，其力程也是短程的。弱作用规范粒子的质量问题，于是得到完美解决。

细致的讨论显示：适当地选择轻子(和夸克)的超荷Y和弱同位旋I，以及序参数场的弱同位旋I，可以实现弱和电磁作用的(部分)统一，即使电磁作用是长程力，而弱作用是短程力。这里我们就不给出细节了，只给出最后结果：左手(u, d)L夸克的弱同位旋和Y量子数(I, I3, Y)=(1/2, ±1/2, 1/3)，故它们的电荷分别是Q=2/3和Q=-1/3。对于左手轻子(νe, e-)L，(I, I3, Y)=(1/2, ±1/2, -1)。对序参数场，(I, I3, Y)=(1/2, ±1/2, 1)；它的两个分量的电荷分别为1和0。夸克和轻子的左、右手性分量有不同的弱作用规范荷，这是弱作用中宇称不守恒现象的根源。

强作用遵从左右对称性；只有夸克有强作用，轻子没有强作用。强作用是非阿贝尔的SU(3)群杨—米尔斯规范理论。1960年代末期，大家还是觉得不知道如何用规范理论来描写强作用。强力(包括核力)已知也是短程力，如何解决规范粒子的质量问题？如果像弱作用那样，强力也要有自发破缺。但是这和强子现象学不大符合。强子现象学的一个重要的定性结论是：不同种类的夸克造成的复合粒子，其质量差别主要来源于不同种类的夸克之间的质量差。这看来建议强作用规范群与弱作用的SU(2)没有关系，也和对称性自发破缺无关。

1970年代初期，量子场论微扰论一阶圈图修正的计算表明，没有自发破缺的非阿贝尔规范场的杨—米尔斯作用量(11)和(12)，在夸克的种类不太多时，有一个以前没有料到的“渐近自由”效应：规范耦合“常数”g依赖于物理过程的能量尺度而跑动；其变化的趋势和原来熟悉的量子电动力学恰好相反：能量越大，耦合越弱。但是这个趋势恰好符合加速器高能散射实验中观察到的一个“意外的”趋势：参与散射的夸克能量越高，其强力的作用越弱，从而越像自由粒子。于是粒子物理学界很快达成共识：夸克的强力由杨—米尔斯理论描写，其规范群是一个SU(3)群，相应的是夸克的与弱作用无关的三种“颜色”自由度。之所以叫“颜色”这个名字，只是因为夸克只有三种这样的基本色荷，就像颜色只有三种基本色一样。(这种自由度在之前的一些实验中神秘地出现过：有一些涉及强子的实验结果，总是比不考虑夸克的“颜色”自由度的理论结果大三倍。)SU(3)群有8个参数，相应地有8个传递夸克色力的规范粒子，叫做胶子。单个胶子，和夸克一样，本身也是带颜色的。故而这个SU(3)杨—米尔斯规范理论，在文献中又叫做量子色动力学。在日常生活的能量尺度，看不到带色的单个夸克和胶子。理论上，这可从渐近自由性质的反面来定性地理解：能量越低，距离越大，色荷耦合越强大，因而容易生成无色的低能复合态。要想从这样的复合粒子中把带色的夸克或胶子单独分开，那需要极大的能量。这个现象叫做“色禁闭”。它定性地解决了强力(包括核力)的短程性和饱和性（注：“规范粒子质量问题”的提法，其实是基于微扰论的。SU(N)纯杨—米尔斯理论(没有夸克、也没有自发破缺)，就是一个非线性理论；严格地说，微扰理论是不适用的。“规范粒子的质量问题”可以被一个严格定义的数学问题替代：证明SU(N)纯杨—米尔斯场论的质量谱在能量最低的状态和第一激发态之间有一非零的能隙。这就是克雷数学研究所的七大千禧年征奖问题之一：杨—米尔斯理论的质量隙问题）。1980年代中期开始，直到1990年代，强力的SU(3)杨—米尔斯规范场理论的预言得到加速器实验的完美验证。

1970年代末，基于U(1)×SU(2)×SU(3)规范理论的标准模型成型，并开始得到公认。到2012年，弱作用规范理论的对称性破缺机制所预言的希格斯粒子，终于被实验发现了。迄今为止所有的实验，都还没有发现任何超出标准模型的确切证据。20世纪中期开始的向物理世界的极小尺度进军的宏伟大业，终于取得了近乎完美的成功。

总结：在白银时代重燃爱因斯坦的火炬

回顾杨—米尔斯规范理论和粒子物理标准模型的巨大成功，我想可以提出以下问题：尽管非阿贝尔规范理论刚被提出时，几乎没有几个人认为它可能是对的，为什么在短短的30年里它就可以被公认是正确的？除了实验技术的快速发展有助于及时的实验检验外，哪些理论上的特点保障了成功的非偶然性？我以为，事后来看，规范(不变性)原理是一个基于定域场论、同时又具有深刻意义的几何原理，这两个特点合在一起是非常重要的。要和历史上成功的例子相比，我觉得，和广义相对论相比拟，其实是再合适不过了。有人说过，广义相对论是基于单个原理的物理理论：在初期，这单个原理是指等价原理，后来又被推广为广义相对性原理。规范场论与此非常类似：某种意义上，它也是基于单个的原理，就是规范原理。可以明确地说，规范(不变性)原理，是和广义相对性原理并驾齐驱的几何原理。在这个意义上，可以说规范场论重燃了爱因斯坦的火炬。

爱因斯坦的思想遗产，或谓爱因斯坦的火炬，是指爱因斯坦晚年特别强调的两大基本思想：统一场论和物理学几何化纲领。爱因斯坦晚年非常强调统一场论的思想，即所有的物理现象都是由定域场论来描写的。(在定域场论里，不同时空点上的场是基本的动力学自由度。)这个基本思想是受到广义相对论的巨大成功的影响。在牛顿那里引力现象是超距作用，但在爱因斯坦那里引力现象是用场来描写的：引力波也是以光速传播的。弱力和强力尽管都是短程力，只发生在原子核内部，但是规范场理论也是建立在定域场论框架的基础之上。这是符合统一场论的思想的：如我在前面论及的，规范场理论的基本原理，即规范不变性(或规范对称性)原理，从定域场论的观点来看是非常自然的。可以说，规范不变性是和相对性原理同样深刻的原理，这从规范场理论一开始就是很清楚的。

但是，规范场理论和几何的密切关系，一开始是不大清楚的，是在1960年代末到1970年代中期，才逐渐明确的。用数学的语言，物理学中的规范势就是数学中纤维丛上的联络。杨先生是在1968年前后开始注意到，广义相对论中的曲率张量的公式

(其中Γ 是Christoffel记号)是杨—米尔斯的规范场强公式的一个特例：

此外，电磁势沿一条空间路径积分得到的不可积相因子，是和广义相对论中的Levi—Civita平行移动完全平行的观念。这也明显地提示了非阿贝尔规范场论实质上就是一种(新的)几何结构。

杨先生于是开始和石溪的数学家交流，得知数学上有一种新的几何理论，叫做纤维丛理论，是陈省身、C. Ehresmann 和 N. Steenrod在1940年代末期到1950年代初期建立起来的。那时数学家和物理学家几乎断了交流，所以在1970年代之前，杨先生和陈先生并不知晓彼此的工作。可以说，杨—米尔斯的规范场结构，是物理学家独立于数学家而且几乎同时发明了纤维丛理论。其实，从物理学的定域场论以及量子理论的场—粒二象性看来，纤维丛有很直观的物理图像：从局部来看，纤维丛就是一束纤维。这个束的横截面(也叫底流形的开子集)描绘粒子或场的时空自由度，每根纤维(不必是一维的)描写粒子或场的内部自由度(如粒子的自旋、电荷或同位旋等)。所以，纤维丛在物理上就是时空自由度和内部自由度的结合。点粒子沿一条时空路径运动时，它在纤维的方向的运动是由规范势(即联络)来描写和决定的。

杨先生1972年7月第二次回国期间，在北京大学做第一个公开的学术报告，它的标题就是“规范场的积分表述”。(报告内容在两年后才公开发表。)我有幸聆听，深感震撼，遂从等离子体的实验研究改行为高能物理的理论研究，成为国内规范场理论的第一批研究者之一，从此改变了我的学术人生的方向。

到现在，杨—米尔斯的规范场理论已成了物理学几何化纲领的一个标准的成功范例。这绝不是偶然的。因为我们上面已经指出，规范不变性原理就是广义相对性原理在(量子场论)粒子的内部空间上的类比。杨振宁在1954年还没有明确地悟出规范场论的几何意义，但是他仍然敏锐地觉察到这个理论的美妙。这是一种天赋的能力，使得他从一开始就对规范场论充满信心。杨先生在高等研究院的终身好友戴森(F. Dyson)，曾经在他的退休庆祝会上评说：论及对物理中美妙数学的深刻直觉，在20世纪只有杨振宁堪与爱因斯坦和狄拉克(P. Dirac)比肩。

作为总结，我们可以说：杨振宁在20世纪物理学的白银时代重燃爱因斯坦的火炬，为粒子物理的标准模型奠定理论基础，并为它的发展指明前进的方向。

致  谢    感谢朱邦芬和胡愈挺的讨论，后者还帮我查阅文献。