武际可:力学同数学亲如手足

选择字号:   本文共阅读 4138 次 更新时间:2008-07-22 11:14

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1987年,正好是牛顿的《自然哲学的数学原理》出版300周年。为了纪念这件事,《力学与实践》上发表了朱照宣教授的文章《牛顿《原理》300年祭》。文中说:“《原理给出的运动定理和万有引力定律,不可能在中国固有的科学技术传统中得出。中国的历史文献中,始终没有加速度这种概念,中国的传统数学也没有为产生加速度和万有引力概念提供必要的工具 圆锥曲线理论……,在欧洲,圆锥曲线理论这一工具是现成的,早在古希腊,阿波罗尼(Apollonius,约公元前260年 190年)在他的《圆锥曲线论》专著中列出了400个命题……”这段话生动地说明了力学的发展需要相应的数学的条件。

从另一方面,我们在俄罗斯数学力学家В.И.阿诺尔得的著名教科书《经典力学的数学方法》(齐民友译,1992年高等教育出版社)的序言中看到:“许多现代的数学理论都来自力学问题,后来才有了公理化的抽象形式,使它们很难读了。”这又说明数学的发展同样以力学的发展为条件的。

数学同力学两个学科的这种亲密关系,其实在古代许多力学家和数学家就认识到了。古人的许多精辟见解对我们现在处理数学和力学的关系,也还是有教益的。

意大利文艺复兴时期的著名艺术家和学者达·芬奇,虽然他留给世人的数学和力学的工作并不很多,但是他那种重视数学同力学结合的观点却是影响深远的。他认为:“大自然按数学规律运转,自然界的力和动作必须通过数学的研究来探讨”。其实,文艺复兴时期的这种思想也不是新的,而是有它深远的历史渊源的。早在古希腊,大哲学家柏拉图(约公元前428年 348年)就说过:“数学是现实世界的核心”。这一思想将物理世界与数学紧密结合,一直是推动数学与力学发展的主导。

1543年,哥白尼从划时代的天文著作《天体运行论》出版时,出版商在扉页上写了一小段广告,它的最后一句话是:“没有学过几何的人,不准入内。”该书实际上是一本讲述天体运动学的书,这句话准确地说明了运动学与几何学的依存关系。

意大利文艺复兴时期的科学和技术,随着由罗马派来中国的传教士,也部分地被带到了中国。1607年(明万历35年)徐光启与传教士利玛窦合译了欧几里德《几何原本》的前6章,徐光启在序言中说:“此书为益,能令学理者祛其浮气、练其精心,学事者资其定法、发其巧思,故举世无一人不当学。……,窃意百年之后,必人人习之,即又以为习之晚也。”中国的传统数学比较重视计算,而几何论证和逻辑推理是相对薄弱的。徐光启在这里大力提倡学几何学,虽然引起了一些反应,例如康熙皇帝就将《几何原本》读了12遍,但终于因为没有从教育制度上加以改革,仍然没能普及。现在看来,虽然民国以后在中学逐步开始讲授几何学,却依然不得不“以为习之晚也。”

1627年(明天启7年)王征与传教士邓玉函(瑞士人)合译了力学著作《远西奇器图说》,这是我国出版的最早的力学著作。这本书对数学同力学的关系阐述得非常好,书中说:“造物主生物有数、有度、有重,物物皆然。数即算学,度乃测量学,重则此力艺之重学也。重有重之性理,以此重较彼重之多寡则资算学,以此重之形体较彼重之形体大小,则资测量学。故数学、度学,正重学之所必须,盖三学皆从理性而生,如兄弟内亲不可相离也。”此处重学、力艺即现今的力学,该书主要内容是静力学与简单机械。这段话把力学、算学(即计算、数学)、度学(即测量学、几何学)三者的亲密关系阐述和比喻得很好。书中还说:“天下之学,或有全美,或有半美。不差者固多,差之者亦不少也。惟算数测量,毫无差谬。而此力艺之学根于度数之学,悉从测量算数而作,种种皆有理有法,故最确当毫无差谬者,惟此学为然。”这段话又将力学同数学、几何学之精确推理联系起来,所以认定力学是没有误差的学科,也就是今天所说的精密学科,因而它是完美的学科。在这里书中把追求精密同追求科学美结合在一起了。

经典力学的奠基人之一,牛顿在他的《自然哲学的数学原理》中,是这样说的:“几何学是建立在力学的实践之上的,它无非是普通力学的一部分,能精确地提出并论证测量的方法。但因手艺主要应用于物体的运动方面,所以通常认为几何学涉及物体的大小,而力学则涉及它们的运动。在这个意义上,推理力学是一门能准确提出并论证不论何种力所引起的运动,以及产生任何运动所需要的力的科学。”从这里可见,牛顿在阐述力学与数学的关系时,也是继承了从古希腊到文艺复兴的传统说法,在这里他特别提到的是力学同几何学的关系。

从发展历史上来看,力学同数学的发展是同步的,或者说,有什么样的数学就有什么样的力学,反过来在一定的程度上也可以说有什么样的力学就有什么样的数学。力学的研究经常是要了解客观事物的质和量两个侧面,而质和量是不可分的。我们可以把从阿基米德开始在力学发展的不同阶段,力学与数学的关系的特点归纳如下:

从阿基米德到斯梯芬时代,力学的研究内容是静力学。在几何方面的主要工具是欧氏几何。相应的计算工具是常量的代数运算。

从伽利略、惠更斯到牛顿、莱布尼兹的时代,力学研究的主要内容是自由质点的运动,特别是解决在引力作用下的自由质点的运动。在几何方面的主要工具是解析几何,特别是有关圆锥曲线的解析几何。在计算方面的主要工具则是引进了变量,发明了微积分,而且微积分的发明人牛顿与莱布尼兹自己也是著名的力学家,是那个时期的力学学科的开拓者。

从拉格朗日到哈密尔顿和雅科比时代,力学主要的研究内容是约束运动。在几何方面的主要工具是引进了n维空间的概念,后来经过黎曼的严格化,就是流形或黎曼几何。而在分析方面的主要工具则是引进了泛函的概念,并且发展了求泛函极值的方法,也就是变分法,拉格朗日自己就是早期开拓变分法的主将。

在19世纪20年代,以法国一批著名学者为代表的群体,如纳维、柯西等,发展了连续介质力学,即流体力学和弹性力学。与此同时相应地,在数学方面发展了偏微分方程的理论与求解方法。利用三角级数求解偏微分方程就是这一时期发展的。

在上一世纪末,力学又进入了一个重要的新阶段,这就是以庞卡莱与李亚普诺夫为代表的发展动力系统的定性理论时代。定性理论与运动稳定性的研究本来是从天体力学中提出来的一个理论课题,之后发现在一切力学系统中,甚至在由一切非线性常微分方程决定的系统中都有普遍理论与应用意义。简单说,定性理论是研究系统解的性质随参数而变化的方向,例如有没有周期解的变化、有没有极限环的变化、解稳定与不稳定的变化等等。相应的几何方面的主要工具就是拓扑学,而相应的计算工具是同伦与外微分等。至今经过了100多年的发展,它仍然是世界上都很关心的研究领域。

从20世纪40年代末电子计算机登上了历史舞台,特别是从60年代开始,计算力学形成独立的学科。这个学科更是力学、数学和计算机科学三个学科形成的交叉学科。力学、数学和计算机科学的结合使这三个学科都产生了新的活力,涌现了一批新问题,得到了一批新成果。

事实上,在人类历史上,我们可以举出一大串第一流的学者,他们既是力学家又是数学家。如阿基米德、伽利略、牛顿、莱布尼兹、欧拉、拉格朗日、哈密尔顿、柯西、拉普拉斯、庞伽莱、柯尔莫戈罗夫等等。

这些力学历史发展的事实说明,在力学发展的每一个关键时期,总是要同从前没有研究过的数量模型打交道,力学家并不是去坐等数学家去解决好了才动手工作,而是自己深入到数学中去发明新的数学工具,或者在与数学家的合作中加以解决。因此,在整个力学史上,许多开拓新领域的大力学家也同时是大数学家。即使是沿着他们开拓的路子前进的后继力学家,也必须熟悉前人发明的这些数学工具。

最早刊登于《力学与实践》 1997年 3期 72-75

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