王振东:关于流体力学方法论问题

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  实验是自然科学的基础,理论如果没有实验的证明,是没有意义的。当实验推翻了理论以后,才可能创建新的理论,理论不可能推翻实验。

  力学是以实验为基础的科学。流体力学中绝大多数重要的摡念和原理都源于实验。对于流体力学问题,数值模拟与物理实验的本质区别并未消失;数值模拟不能代替物理实验,大规模数值模拟的结果仍需由巧妙设计的物理实验来检验其正确性。

  

  1、流体力学绝大多数重要的概念和原理都源于实验

  

  力学是以实验为基础的科学,流体力学更是建立在实验的基础之上。在流体力学中,绝大多数重要的概念和原理都源于实验。例如,大气压强,流体的可压缩性,黏性剪应力,层流,湍流,雷诺数,卡门涡,二次流,附加质量,激波,孤立波,湍剪切流的相干结构(或称拟序结构,猝发),声障现象等;又如,完全气体的状态方程,连续性方程,能量守恒原理,达西定律,托里拆利原理,伯努利原理等。下面我们可以举几个例子,来看—下它们怎样由实验发现的历史过程。

  1、1 流体的可压缩性与完全气体的状态方程

  1657年K.肖特(Schoot,K. 1608~1666)在《液体与气体动力学》—书中,介绍了O.von格里凱(Guericke,O.von 1602~1686)发明的抽气泵及其应用的情况,引起了R.波义耳(Boyle,R. 1627~1691)的兴趣,从而进行了—系列实验,从中领悟到空气有“弹性”,并用实验证明了此事。

  波义耳用—只羊的膀胱,充入部分空气后,扎紧细颈,放入抽气泵的容器中。随着容器中空气减少,膀胱逐渐膨胀起来。当空气重新进入容器时,膀胱又复原。这说明膀胱中的空气有“弹性”。1660年,波义耳将这—结果写入了《关于空气弹性的新物理—力学实验》一书中。

  1661年9月,波义耳又用U形管进行了一系列实验,1662年由这些实验提出了后人以他名字命名的气体定律:在恒定的温度下,气体的压强与其体积的乘积为—常数。

  波义耳在实验过程中还发现,—定体积的封闭空气加热以后会使压强增高,但未进—步研究。直到1802年,J.L.G.吕薩克(Lussac,J.L.G. 1778~1850)继H.B.德.索热尔(Saussure,H.B.de 1740~1799),J.普里斯特利(Priestley,J. 1733~1804)和L.B.B.G.de.莫尔瓦(Moruau,L.B.B.G.de 1737~1816)等人的实验研究之后,才成功地将波义耳定律扩充为包括温度的情况,即现在的完全气体定律或状态方程。

  1、2 连续性方程

  L.达.芬奇(da Vinci L. 1452~1519)约在1500年左右,提出了定常流动的体积流量守恒原理。但当时未能引起注意,直到100多年后的1628年,才为B.B.卡斯特里(Gastelli,B.B. 1577~1644)重又发现。所以,“在相等的时间内,流过B截面的水流量应等于流过A截面的水流量”,现称为达.芬奇—卡斯特里原理。

   J.R.达朗伯(d’Alembert,J.R. 1717~1783)用数学方法根椐达.芬奇—卡斯特里原理,导出了定常不可压缩流体微分形式的连续性方程。11年后,L.欧拉(Euler,L. 1707~1783)1752年又将此原理用于—根流管,并用质量代替流量,即沿流管的质量应守恒。并在直角坐标系中取微六面体,导出了非定常可压缩流体微分形式的连续性方程。

  1、3 能量守恒原理

  能量守恒原理是由不同国家、不同学科的60多位科学家经过长期的努力和不懈的观察、实验与探索后才逐渐发现和完善的。它起源于力学。

  16世纪,意大利力学家G.乌巴尔德(Ubald,G. 1545~1607)和物理、天文学家G.伽利略(Galileo,G. 1564~1642)分别将虚功原理应用于杠杆、滑轮和斜面上的物体与通过滑轮相连的另—悬挂物体间的平衡问题。

  1638年伽利略在研究自由落体、单摆和物体沿斜面运动时发现物体的速度

  能通过高度变化得到,且物体下降所获速度正好能使其返回原高度。1673年荷兰数学和物理学家C.惠更斯(Huygens,C. 1629~1695)将伽利略的单摆实验推广至复摆情况,发现复摆重心的上升高度不能高于其下降的高度。1686年德国数学家G.W.F.莱布尼兹(Leibniz,G.W.F. 1646~1716)在进行落体实验后,提出用运动能mv²来度量物体的运动。于是伽利略与惠更斯的实验结果就意味着运动能守恒。1690年惠更斯用两个相同的弹性体进行碰撞实验,发现碰撞前后的mv²不变,他还指出这个原理适用于包括液体运动等其他许多情况。1738年瑞士物理和数学家D.伯努利(Bernoulli,D. 1700~1782)将此原理应用于容器出流,得到了著名的伯努利定理。

  1735年D.伯努利的父亲J.伯努利(Bernoulli,J. 1667~1748)进一步指出如果运动能有变化,可能转化为其他形式的能。到1750年前后,已得到:理想与孤立的机械系统,在重力作用下其机械能(动能与势能之和)守恒。

  1798年美国物理学家B.C.R.汤普森(Tompson,B.C.R. 1752~1814),以及1799年英国化学家S.H.戴维(Davy,S.H. 1778~1829)都在实验中发现机械运动可以产生热能。1800年英国科学家W.尼科尔森(Nicholson,W. 1753~1815)和医生卡莱尔通过电解水实验,证明电可以引起化学反应,即电能可转变为化学能。1820年丹麦物理学家奥斯特(Oersted)用实验证明电能可转化为磁能。1821年德国物理学家T.J.西贝克(Seebeck,T.J. 1770~183?)制成温差电偶,证明热能可转化为电能。1831年英国物理与化学家M.法拉弟(Faraday,M. 1791~1867)用实验证明磁能可转化为电能。这些实验都表明:自然界的各种运动形式,以及它们所表征的能量形式都是可以互相转换的。

  英国物理学家J.P.焦耳(Joule,J.P. 1818~1889)从1840年开始用各种不同方法,坚持进行电能与热能、电能与机械能、机械能与热能之间的转换实验,并比较精确地测出电热当量值和热功当量值。1847年焦耳公布了他的实验结果,两个月后,由于英国物理学家、数学家W.汤姆森(Tomson.W. 1824~1907)给予了充分肯定,引起了轰动。

  德国物理与生理学家H.亥姆霍兹(Helmoltz,H.L.F.von 1821~1894)也在1847年独立地发表了与焦耳工作内容相近的论文,全面阐述了各种能量形式之间的等价关系,并用数学形式表达出—般的能量守恒原理,而热力学第—定律仅是能量守恒原理在热力学中的具体体现。

  就这样,经过了至少二百多年时间和先后约60多位科学家的共同努力,—般的能量守恒与转换原理才建立起来。

  从以上例子可见:在流体力学的发展过程中,实验方法是最先使用的—种方法;而且流体力学中绝大多数重要的原理和概念,也正是依据实验研究才建立起来的。

  

  2、关于欧拉方程组与纳维—斯托克斯方程组

  

  欧拉于1755年建立了理想流体的动力学方程组,现称为欧拉方程组。法国力学家、工程师纳维(Navier,C.L.M.H. 1785~1836)于1821年和英国力学家、数学家斯托克斯(Stokes,G.G. 1819~1903)于1845年分别对黏性不可压缩流体建立了动力学方程组,现称为纳维—斯托克斯方程组。现在人们对于自然界、国防和各种工程技术中的流体力学问题,都在用它们进行分析、计算和研究。

  对于纳维—斯托克斯方程组,经过150多年的研究,仅在—些简化的特殊情况下,找到不多的准确解。由于纳维—斯托克斯方程组光滑解的存在性问题至今尚没有在数学上解决,但这个问题又极其重要,所以克莱数学促进会(Clay Mathematics Institute 简称 CMI )已在2000年5月24日将其列为新千年数学大奖的7个悬赏问题之—,悬赏奖金高达一百万美元(笔者已在《力学与实践》2003年25卷3期上著文介绍这—悬赏问题的具体情况)。 对于理想流体的欧拉方程组,尽管要比纳维—斯托克斯方程组简单得多,但经过200多年的研究,其解的存在性的问题也尚未在数学上得到证明,只是欧拉方程组解的存在性并不属于CMI悬赏奖励的问题。

  在学习微分方程理论時,我们知道:

  (1)如果描述物理问题的某微分方程被证明其解不仅存在而且唯一时,则无论用何种方法找到这个微分方程的解,可以认为这就是该方程的解。

  (2)当描述物理问题的某微分方程,被证明解是存在的,但却不见得唯一时,则如果用—种方法找到了解,还必须研究解的稳定性问题,只有证明了所找到的解是稳定的,才能认为这个解有可能代表实际存在的物理现象。

  (3)如果描述物理问题的某微分方程,解的存在性尚还不能被证明,若用某种近似方法(如渐近方法或差分法、有限元法等数值方法)找到了“解”,则我们难以肯定它是否真是代表实际存在的物理现象的解。

  不幸的是,我们在流体力学中所遇到的欧拉方程组和纳维—斯托克斯方程组,正好都属于第三种情况。

  当然,如果经过数学家的努力,解决了CMI的百万美元悬赏问题,纳维—斯托克斯方程组解的存在性问题得到了证明,这自然是皆大欢喜的事。可是CMI关于纳维—斯托克斯方程组解的存在性问题的悬赏,也还包括给出其解不存在的证明。如果是后者获奖,那问题就更大了。也有可能,经过仔细研究后认为纳维—斯托克斯方程组应作某些修正和改进,才能使解存在。如是这样,流体力学教科书就需要改写了。

  有人曾说,我们不必等弄清楚消化理论后才去吃饭,而应—面吃饭、—面研究消化理论。笔者很同意这种看法,实际上大家也是在这么做的。尽管欧拉方程组和纳维—斯托克斯方程组解的存在性问题尚未解决,对于大量自然界、国防和各种工程实际中的流体力学问题,我们仍在坚持用理论分析、数值计算、物理实验相结合的方法有效地进行研究,并得到很好的解决。

  但是,由于计算机和计算技术的迅速发展,现在却又流行—种说法:对于流体力学问题,数值计算(或称数值模拟,还有人称它为“数值实验”)可以代替物理实验。于是有人认为只用计算机作大量的计算,就可以解决流体力学问题了。研究生做流体力学问题的学位论文時,可只用计算机作数值计算,不必再用物理实验检验数值计算的正确性。甚至还有人进—步说数值模拟就是“数值实验”,它可以代替物理实验。所以我们有必要对于流体力学问题,弄清数值模拟与物理实验的关系,以免对流体力学方法论产生错误的看法,使研究工作在错误思路的指导下误入歧途。

  

  3、数值模拟与物理实验的关系

  

  3、1 数值模拟必须用物理实验来检验其正确性

  用电子计算机进行数值计算是20世纪中叶才出现的—种方法,其主要步骤是:(1)对—般的流体运动方程,初始或边界条件,进行必要的简化或改写;(2)选用适当的数值方法,对简化或改写的初值问题或边值问题进行离散化;(3)编制程序,选取算例,进行具体计算,并将所得结果绘制成图表;(4)将算例求得的数值解与实验结果以及其他计算方法的结果进行比较。

  数值模拟对所研究的流体力学问题是—种近似方法。以纳维—斯托克斯方程组为例,它是在对流体力学问题作了—些假设后才得到的。在连续介质假设的前提下,斯托克斯1845年作了三条假设:

  (1)应力张量是应变率张量的线性函数;

  (2)流体是各向同性的,即流体的性质与方向无关;

  (3)在流体静止时,流体中的应力即为流体静压强,才建立了方程组。其次,所釆用的数值计算方法本身也是近似的。所以,数值模拟的结果必须要用实验结果来捡验其正确否。

  由于纳维—斯托克斯方程组解的存在性问题至今尚未解决,就更难以肯定数值方法找到的解,是否代表真实的流体运动。所以,认为数值模拟是“数值实验”的说法,实际上它只是数值计算方法的实验,而不是流体运动的实验。

  因此笔者认为,数值摸拟与物理实验的本质差别并未消失,数值模拟不能代替物理实验,数值摸拟的结果必须用物理实验来捡验其正确性。

  3、2 大规模数值摸拟与巧妙设计的物理实验相结合

  研究解决流体力学问题的方法有实验、分折和数值计算等三种,这三种方法各有优缺点。实验方法的优点是能直接解决生产中的复杂问题,能发现流动中的新现象和新原理,其结果可作为捡验其他方法是否正确的依据;缺点是对不同情况需做不同的实验,且所需人力、财力、物力较多,花费大。分析方法的优点是可明确给出各物理量与流动参数之间的变化关系,普适性较好;缺点是数学上的困难很大,能获得的分析解(包括近似的分析解)的数量有限。数值计算方法的优点是可对分析法无法求解的问题,求得其数值解,且花费相对较小;缺点是对复杂而又缺乏完善数学模型的问题,仍无能为力。分析解及数值解都是建立在具有—定假设条件的运动方程组之上的,其结果仍都应受到实验结果的捡验。流体力学工作者应熟练地掌握这些方法,以便根据具体情况,取长补短地加以应用。

  由于科学研究和生产实际的需要,对于流体力学问题进行大规模数值模拟,无疑是需要的,国内已有几种计算流体动力学的商品软件(如 FLUENT, STAR—CD, TASC flow,PHOENICS 等)在应用,且已使用并行计算机进行大规模数值模拟。但所得到的数值模拟结果,仍须用物理实验来检验其正确性。而作物理实验又需要投入更多的人力、财力、物力的支持,所以巧妙地构思、设计小规模、精细的物理实验,以较少花费来捡验大规模数值模拟的正确性,就显得十分重要。

  

  参考文献

  1、周光坰、严宗毅、许世雄、章克本编著,流体力学(第二版),北京:高等教育出版社,2000

  2、王振东、姜楠,新千年数学大奖问题 ——证明纳维—斯托克斯方程组光滑解的存在性,力学与实践,2003,25(3):72—73

  3、陈耀松,创新与构思—力学小议之二,力学与实践,20

  关键词: 流体力学 方法论 物理实验 数值模拟

  

  (原刊登于《力学与实践》2004年26卷2期)

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