悬浮体，胶体，气溶胶，云

《创新话旧》第2章（2）

2．2 一些ABC的问题

2．2．1 悬浮体，胶体，气溶胶和云

在讲述创新点（1）之前，按照我们在“缘起”中的约定，先讲一点有关的基本概念。这里先讲和悬浮体有关的概念。微小的粒子悬浮在流体之中，这体系叫悬浮体，或叫胶体。被悬浮的粒子叫悬浮粒子。粒子悬浮在水中的叫水溶胶，悬浮在其他液体中的叫液溶胶。当粒子悬浮在空气中时，这体系就叫气溶胶。在环境保护工作中，把气溶胶粒子叫做可吸入颗粒物。在胶体科学中，常常只讲水溶胶和液溶胶，而不讲气溶胶。这不妥当。广义的胶体应该也包括气溶胶。当然现在气溶胶科学发展很快，它已成为一门独立的学科了。即使如此当我们说到胶体时，应该同时是指两者。云雾则是一种特殊的气溶胶。它与一般的气溶胶有些不同。首先云的粒子大。拿夏天的对流云讲，它的云滴平均大小是10微米。比典型的气溶胶粒子大了一个数量级。于是有云时就必然有上升气流，这才能把云滴托住。而一般气溶胶粒子太小了，无须乎上升气流就可悬浮在空气中。第三云体中有相变，水汽可以凝结成云滴，云滴又可以冻结成冰晶。水气还可以直接凝结在冰晶上，叫凝华。相变的形成同样需要有上升气流。而这也是一般气溶胶所没有的。尽管如此，云滴的动力学规律和气溶胶粒子的动力学规律基本相同。这就可以理解为什么巴切勒会认为他可以通过我的云物理研究，把他的悬浮体动力学推广到气溶胶力学中去。

悬浮体或胶体广泛地存在于自然界和各种工程领域。整个大气就是一个气溶胶系统，江河湖泊和海洋就是水溶胶系统。人体内的呼吸系统则是气溶胶系统，血液循环系统则是水溶胶系统。化学工程管道中的则是水溶胶，液溶胶或气溶胶。煤矿工程中的水煤浆系统，水利工程中的水库中的都是水溶胶。粉尘车间中的，和烟筒中冒出来的浓烟，是高浓度的气溶胶。在高科技工业中制造大规模和超大规模集成电路的超净工作间里，则是超低浓度的气溶胶。可见悬浮体是个很重要的研究对象。爱因斯坦，斯莫鲁霍夫斯基和巴切勒这样一些大科学家把悬浮体或胶体选择为自己的研究对象，是一种很明智，很有远见的选择。当然，人类对悬浮体的研究还要更早，它起自18，19世纪，至今已有几百年的历史。其中最著名的是19世纪初期，在1827年，由英国的植物学家布朗（Brown）发现的悬浮粒子的无规运动，后来就被人们称做是布朗运动。这个运动引起了物理学家的极大兴趣，因为它证实了物质的分子结构。原来这种无规的布朗运动来源于粒子周围的流体中分子的无规热运动，对悬浮粒子的无规撞击。因为悬浮粒子很小，这种无规撞击的效应才显现得出来。否则当物体比较大时，这种效应就被平滑掉了。于是悬浮粒子的无规的布朗运动就成为当时物质的分子结构最有力的证明。然而布朗粒子无规运动本身还有其规律性，这个规律性则是到了20世纪初期，由爱因斯坦，朗之万和斯莫鲁霍夫斯基等物理学家所发现的。后来的进一步发展就形成了悬浮体力学，胶体动力学，乃至胶体科学。这更加证明了爱因斯坦和斯莫鲁霍夫斯基等人选择的远见卓识。当然就胶体科学而言，光有物理学家的努力还不行，这是一个多学科交叉的产物。其中，化学家和化学工程学家的贡献也非常重要。美国的胶体科学家大部分都工作在各大学的化学工程系。我因为在美国的《胶体和界面科学杂志（J.Colloid and Interface Sci.）》发表了一些论文，美国化学学会就几次来函邀请我为该学会的会员。20世纪里几个重大的交叉学科的产生，都有类似的情况。如我所从事的大气科学，原来叫气象学，后来物理学渗透进来了，就有了大气物理。接着化学又渗透进来，就有了大气化学，最后多学科交叉结果就是现在的大气科学。又如生命科学。原来叫生物学，后来产生了生物物理，还有生物化学，最后多学科交叉结果就形成了生命科学。不过总的来说，在多学科交叉的过程中，物理学起着主导作用。

2．2．2 单分散（Monodisperse）

和多分散(Polydisperse)体系

在悬浮体或胶体的研究中，经常把它分成两大类，即单分散和多分散体系。这是在悬浮粒子球形模型下的两个概念。所谓单分散即指该体系中所有的粒子半径和组成的成分相同。它们的粒径谱和成分谱都是单谱。而多分散则是指系统中粒子的半径或组成成分有一个不同。它们的粒径谱或成分谱有一个是多谱。单分散体系在自然界和工程领域极为罕见。富克斯曾在他的名著《气溶胶力学》中讲到，La Mer 发生器和某些植物花粉或孢子所形成的气溶胶，相对而言是单分散的。例如，三叶草花粉粒子半径在24.8─26.9微米范围内。当然严格讲，这仍然不是单分散体系。严格的单分散体系其粒径谱应为真正的单谱，谱宽度应为0。那为甚麽人们还要研究它呢。这是因为单分散体系是最简单的悬浮体。在这种体系中，粒子的沉降速度相同，他们之间的相对沉降速度为0，彼此之间的距离不会改变。虽然他们具有绝对沉降速度，它们和地面的距离会越来越小。在这种条件下，对理论研究特别有利，有可能找到严格的解析解，实验室中也可以验证，从而对该问题的物理机制得到一个初步的了解。例如，巴切勒的单分散沉降理论。当然，单分散沉降理论存在着明显的局限性，这也就是为什麽在1982年巴切勒和我要把它推广到多分散体系中去的原因。显然多分散比单分散问题复杂得多，因为此时粒子之间的相对沉降速度不再是0。这问题我们会在第四章中更详尽地谈到它。

2．2．3 悬浮粒子的碰并和胶体的稳定性

悬浮粒子在各种力的作用下产生了相对运动，最后发生粒子之间的碰撞，在有利的条件下，特别是当粒子间的 范德瓦尔斯分子引力势比较强的时候，两个粒子就会粘连在一起，形成一个聚合体。如果是两个水滴，就会合并成一个新的大水滴，这种现象叫碰并，或叫聚集，或凝聚，或聚沉，或凝并。都是一个意思，英文原文是一个字 Coagulation, 现在还没有统一的翻译方法， 不同的学科和不同的人有不同的译法。云物理中译为碰并，因为云滴和云滴之间的Coagulation，会使两个云滴合并成为一个新的体积为原来两个云滴体积之和的大云滴。我出身于云物理，按照我的老习惯，还是译为碰并。当然，在云物理中有时也使用Coalesence,那就不会发生混淆。可是在云物理中，确实也常用Coagulation 这个字，讲的是一回事。

碰并过程发展的结果，在悬浮体或胶体中粒子的数密度会越来越少，而比原来粒子大的聚合体的数目也就会从无到有且越来越多，粒子的平均半径越来越大，粒子的平均沉降速度也必然会越来越快，越来越多的大粒子就从胶体中分离出来，沉淀到胶体的底部，而把纯净的流体留在了上部，胶体就不稳定了，这种胶体就叫做不稳定胶体。相反的情况，当粒子间的范德瓦尔斯分子引力势被屏蔽掉，而有很强的库仑静电斥力势的时候，粒子相碰后就不会发生并合或粘连，而会使粒子反弹回去，不会产生聚合体。这种胶体就可以长时间维持下去，叫稳定的胶体。更为严重的是，当粒子有碰并现象发生时，胶体会由原来的分散状态，转化为聚集状态，此时几乎所有的胶体性质，都要发生变化，所以胶体的稳定性问题，就成为胶体科学的核心问题。又由以上的论述中可以看出，决定胶体稳定度大小的正是悬浮粒子的碰并率。胶体科学中所定义的胶体稳定度，正是和悬浮粒子的碰并率成反比。碰并率为0时，稳定度为无穷大，胶体绝对稳定。碰并率为无穷大时，稳定度为0，胶体绝对不稳定。很明显对悬浮粒子碰并率的研究，就必然成为胶体科学中的核心问题 。斯莫鲁霍夫斯基选择碰并问题作为他的研究胶体的切入点，确是非常英明的选择，这使他不但成为胶体动力学的奠基人之一，而且也成为现代胶体科学的奠基人之一。从而再一次证明选题在科学研究事业中的极端重要性。

2．2．4 对分布方程和皮克列特数

2．2．4．1 双球模型

本书第一章中谈到巴切勒在研究悬浮粒子的动力学问题时，把他的研究对象规定为稀释的悬浮体。也就是说这种悬浮体的体积浓度必须远小于1。此时悬浮体中多粒子之间的各种相互作用，就可简化为两个粒子之间的相互作用。对于球形粒子而言，就可以用双球模型来近似这种多粒子的悬浮体。问题就简单多了，是目前人类还有办法处理的事。体积浓度和数密度是两个不同的概念。后者讲的是单位空间体积中有多少个粒子，它是一个有量纲量，数值可以远大于1。而体积浓度讲的是单位空间体积中粒子本身的总体积是多少，显然这是一个无量纲量，数值不可能大于1。理论上只有粒子完全充满空间时，粒子的体积浓度其数值才会等于1。而这实际上不可能。对于球形粒子而言，当体积浓度达到0 .5以上时，其动力学上的效应，就已和粒子充满空间相近了。实验表明当粒子的体积浓度小于0.02时，这种悬浮体就可以用双球模型的稀释悬浮体来近似。这要求并不算高，大气气溶胶就满足此条件。虽然大气气溶胶的数密度非常大，每立方厘米中可以有几千到几万，甚至更大。但是由于粒子的典型大小只有1微米，还有大量更小的粒子，所以大气气溶胶的体积浓度不仅远小于1，而且远小于0. 02，都可以用双球模型的稀释悬浮体来近似。还要补充一点，双球模型的稀释悬浮体并不是巴切勒的发明，早在20世纪初，从斯莫鲁霍夫斯基开始，就使用了这种双球模型的稀释悬浮体。因为直到现在，三体以上的多体相互作用问题，还是人们处理不了的事，这一点本书第四章还要进一步谈到它。尽管如此，就稀释体系的双球模型而言，却仍然是十分复杂的问题，在20世纪里，双球的各种相互作用，使人们花费了不少脑筋。例如双球的范德瓦尔斯分子引力势，双球荷电以后他们之间的库仑静电斥力或引力势，双球之间的流体动力相互作用等等。自从斯莫鲁霍夫斯基以后，一代一代的科学家们对这些问题绞尽了脑汁，正好在我到达剑桥时，才有了一些比较好的答案。我们才能在这些人工作的基础上，继续前进。在求解双球各种相互作用下的对分布方程中，取得了一批较好的结果，使悬浮粒子碰并问题以及沉降问题都得到了一些突破性进展。应该承认我到达剑桥师从巴切勒的时机，真是非常巧非常难得的机遇。机会难得，我真是太幸运了。

2．2．4．2 对分布函数

悬浮体力学认为粒子的随机的布朗运动，是悬浮粒子运动最基本的特征。因此原则上对粒子运动位置的描写，应该用概率论的方法，而不应用确定论型的轨迹分析方法。一般情况下，人们无法确知在某一时刻，某一布朗粒子运动到了何处，而只能谈它到达某一位置的概率是多少。所谓对分布函数就是在粒子的双球模型中，描述某一代表性的球在某一时刻，发现它的中心处在，相对于参考球中心的向量距离为r 的位置上，其概率密度是多少。这里所谓概率密度又是指单位空间体积中，发现该代表性球的概率。我们对这两个球加上标号。代表性球叫j球，参考球叫i球。一个是j球，另一个是i球，这两个球形粒子构成了一个球形粒子对，所以上述概率密度函数就叫做对分布函数。它是时刻t和向量距离r的函数。本质上它就是j球的概率密度。不过是以i球中心为参考坐标系的原点罢了。它的运动速度都是指它相对于i球中心的运动速度。不是相对于地面的绝对运动速度。当已知对分布函数时，把它和j球的数密度相乘，就得到了j球的数密度分布函数，再乘以粒子的相对速度，就会得到j球相对于i球中心的输送量。把这个量在两个球相碰的碰撞面上积分，就可得到j球和i球的碰并率。所以关键问题是要得到对分布函数的解。这就要求我们去求解对分布方程。

2．2．4．3 进入正题

支配对分布函数变化的方程叫对分布方程。这方程是一种守恒型的方程。该方程是说，当空间中没有j球的源地，也没有吸收掉j球的汇时，j球的对分布函数的局地变化就决定于，总的j球的对分布函数输送通量的负散度。总的j球的对分布函数输送通量是重力对流输送通量，粒子间势力输送通量和布朗扩散输送通量，三个通量的和。散度是对这总通量的一种向量运算。所得结果的物理意义是指，在运算地点上单位时间和单位空间体积中，j球输送出去的量值。输送出去的量对当地的j球而言是减少了，所以在散度前面要加一个负号。

对分布方程是一个二阶的，线性的，时空四维的偏微分方程。方程虽是线性的，好像比非线性的方程容易求解，其实不然。由于它的三个输送项的系数，在双球间的流体动力相互作用下，都不是常数，而和j球距i球的距离和方位有关。所以它们是三个非均匀场，当然是三个已知的非均匀场。这就是问题的困难所在。大家知道，求解以非均匀场为系数的线性二阶偏微分方程，它的难度其实和求解非线性的二阶偏微分方程相同。例如到现在人们还无法求出其严格解的黏性流体力学的纳维－斯托克斯方程。尽管如此，20世纪中的流体力学家已经做了大量工作，发明出一整套的微扰方法，包括奇异扰动法和规则扰动法，从而求出了许多纳维－斯托克斯方程的近似解，解决了许多工程上的难题。借用这些方法，我们也已求出一些对分布方程的近似解，从而把悬浮粒子的碰并和沉降理论推向前进。本章要讲的创新点（1）就是其之一。

在用微扰方法求解对分布方程中，最常用的微扰参数就是我们在前面已经讲过多次的皮克列特数。实际上，它是从对分布方程无量纲化后得到的。所以它的确切的定义是，j球相对于i球的重力对流输送项和布朗扩散输送项的比。对分布方程无量纲化后还得到另一个无量纲参数，就是Qij数。它的定义是，j球相对于i球的重力对流输送项和粒子间的势力输送项的比。这两个无量纲数彼此不相互独立，而是成正比，比例系数已知。所以，归根结底，对分布方程的解主要决定于皮克列特数。当它小于1时，我们就把它本身当作微扰参数。当它大于1时，我们就把它的倒数当作微扰参数。这和求解纳维－斯托克斯方程时，把雷诺数当作是微扰参数相似。这里我们再把皮克列特数和前面讲的单分散和多分散体的关系讲一下。因为皮克列特数和两粒子间的相对重力沉降速度成正比，所以单分散体系的皮克列特数是0，而多分散体系的皮克列特数就不为0。由于皮克列特数和粒子半径的4次方成正比，所以当粒子的半径从亚微米过度到微米量级时，它们的皮克列特数可以从远小于1的量值过度到远大于1的量值，从而使对分布函数的解发生质的变化。

2．2．5 斯莫鲁霍夫斯基的轨迹分析法

2．2．5．1 轨迹法的成功之处

创新点（1）是对斯莫鲁霍夫斯基轨迹分析法的突破。在讲这次突破之前，还有必要对这个方法加以分析。我们在第一章中已经谈到斯莫鲁霍夫斯基凭借他的两个大胆的假定，开辟出现代悬浮粒子碰并问题的研究道路。其中第一个假定是人们可以用悬浮粒子两种极限碰并的研究取代耦合碰并研究，这包括可完全忽略在高皮克列特数下弱一些的布朗运动。这样他就成功地避开了一个难题，即：在高皮克列特数条件下，悬浮粒子强对流和弱布朗两种性质不同的运动耦合碰并难题。而把该过程转化为纯确定论型的对流碰并问题。对此，人们就可以用轨迹分析法处理，其中j球相对于i球的相对运动轨迹完全可以计算出来，进一步找到两个球形粒子的相切轨迹后，就可得到对流碰并率。非随机的对流运动又分两大类，一类是由重力造成的，叫重力碰并率。一类是由背景流场造成的，叫背景流场碰并率。背景流场又有不同形式，比如剪切流场，就成剪切碰并率；又比如轴对称纯变形流场，就成轴对称纯变形场碰并率等等。当然，仅仅凭这个假定，斯莫鲁霍夫斯基在20世纪初还不能得到上述各种对流碰并的具体答案。为此，他还必须补充以第二个大胆假定，即忽略掉粒子间的各种相互作用，这样他才能成功地在20世纪初得到了上述各种对流碰并一级近似解。

轨迹分析法不仅使斯莫鲁霍夫斯基在20世纪初得到上述的成功。而且，以后人们在研究各种粒子间的相互作用对于对流碰并的影响时，继续得到成功的应用。这包括粒子间的流体动力相互作用；粒子间范德瓦尔斯 分子引力势相互作用；还有粒子荷电以后，带电粒子之间的各种库仑静电势相互作用。就水溶胶而言，带电粒子均荷同号电，库仑静电势是斥力势。就气溶胶而言，则同号电和异号电荷均有，故此在气溶胶中既有库仑静电斥力势，也有库仑静电引力势。这些相互作用也都是确定论型的。因此，在研究它们对于对流碰并的影响时，也都可以继续使用斯莫鲁霍夫斯基的轨迹分析法。直到现在，人们对于在各种粒子间的相互作用下的对流碰并过程已有了一个相当全面相当深入的理解。对于斯莫鲁霍夫斯基对流碰并率的一级近似解，得到各种各样的修正系数。这是轨迹分析法的又一次成功。

2．2．5．2 轨迹分析法的局限性

正像本书第一章“西风凋碧树”一节里讲的那样，一切理论都有它的局限性。斯莫鲁霍夫斯基的轨迹分析法这颗大树也不例外，也有它的局限性。轨迹分析法的第一个也是最主要的局限性，就是人们无法在此方法的基础上去研究弱布朗运动对于对流碰并的影响，从而得到对流碰并的二级近似解。因为只要有一点点布朗运动存在，粒子运动的轨迹就无法计算出来。有弱布朗运动影响的对流碰并二级近似解就无法找到。

轨迹分析法的第二个局限性在于，粒子运动的轨迹一般都要用数值计算方法求出。不仅如此，当人们使用轨迹分析法来计算碰并率，在找出两粒子之间的相切轨迹时，还必须进行数值试验。只有通过数值试验，才能找出相应的相切轨迹。于是用这种方法得到的碰并率一般只能是数值解。不可能得到解析解。大家知道人们很难通过数值解，了解到过程的真实物理，为要发现过程的真实物理，只有得到解析解才行。而这是轨迹分析法所难以做到的。

2．2．5．3 我们的想法

为克服轨迹分析法上述的局限性，出路在于要放弃轨迹分析法，转而使用概率论方法。具体到我们的问题而言，就是要使用统计理论方法。对于稀释悬浮体而言就是要使用粒子对的统计对分布方程法。因为在统计对分布方程中，与描述随机的布朗运动的布朗扩散项同时，还包含了描述非随机的对流运动贡献的对流输送项。因此，统计理论原则上可以解决两类不同性质同时存在时的耦合碰并问题，并有可能得到解析解。但统计理论还存在一个重要问题，那就是它能否解决完全忽略掉布朗运动的纯对流碰并问题。因为在完全忽略了布朗运动以后，问题就转化为纯确定论型。而统计理论却属于概率论型范畴。对于这问题，我们的答案是肯定的。因为实际上，我们认为确定论型的问题与概率论型并不完全矛盾、相互排斥。前者只不过是后者的一个特例。当概率趋于1时，随机事件就应转化为必然事件。对于统计理论对分布方程而言，当皮克列特数趋于无穷大时，它的解就应该转化为确定论型的解，从而必定会和轨迹分析法一致。因此，完全可以突破斯莫鲁霍夫斯基的轨迹分析法限制，在对流碰并的范围里建立统计理论。