漫谈数学史

选择字号:   本文共阅读 4587 次 更新时间:2000-06-25 13:52

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周民强教授  

1.16世纪前是常量数学,中学教授的除解析几何外没有变量,特点有二,一是研究对象是常 量,二是运算次数是有限的。

2.17世纪,笛卡尔开创代数方法,引进坐标,研究变量,研究运动,17世纪下半叶,微积 分为主的变量数学最为发达,微积分占统治地位,并且解决了许多问题,特别是天体力学 和光学方面的问题。如观察月球轨道,探照灯,望远镜、慧星预测都是与之直接关连的。

18世纪很多学科蓬勃兴起。

3.近代数学,从19世纪到二战,随着物理学的深入,热光等看不见摸不着的东西为数学提出 了新的要求,而且微积分也需要严格的逻辑基础。有三大特点:1 分析数学,实无限,潜无 限概念。自然数,实数作为实体引进到数学。自然数集的个数等于偶数集元素个数,而偶数 集的元素是自然数集元素的部分,那么整体大于局部就不对了。

2 几何:非欧几何的发展 ,三角形三内角和不等于180度 。

3 代数,与过去的解方程求根不同,提出了代数结构。 同时这一时期出现大学,突破了沙龙,推动数学发展。

4.现代数学:二战推动了数学的发展,主要表现在以下几方面:

a计算机对数学的冲击,算盘可看作是手的延长,计算机是思维的延长,利用计算机提出数 学问题,检验证明。

b 边缘科学的发展 3 全方法渗透

二、分类

1 分析、几体、代数是19世纪数学的三大支柱

2 确定性数学和随机性数学

3 本世纪30年代法国数学家提出结构方法,代数、拓补和序结构,这种分类是做出来的数学 ,不可能包括全部数学,非结构性数学研究可能性,是自在的数学。

三、推动数学发展的动力:

1 实践推动数学

2 内部矛盾推动数学发展,连续与离散。光的波粒二重性,利用直线认识曲线周长等。

3 追求美、追求完美推动数学。希腊时代就提出了二次曲线,到17世纪才用上,因为有了完整 的体系,并且在求根公式里加进了虚数。

4 智力游戏的挑战,如著名的一笔划问题。 5 推动数学发展的三次革命性行为。 1。无理数打破有理数统治世界的局面,毕达哥拉斯学派的观点是有理数可描述一切,有人提 出正方形对角线是非有理数。

2 微积分的逻辑不清楚,牛顿的一个方式为s(t)=t*t

那么(s(t+△t-s(t)))/△t=2t+△t 其中△t为无穷小

可以忽略,可是如果 为0, 那么前面的被除数就是0, 这是无意义的,对于△t也引起了一场危机。

3 集合论 集合论的祖先康德,集合是把满足一定条件性质的对象放在一起,康德提出 了三个性质,概括性,外延性,选择性。罗素说到,有一个集合,凡是包括了个以上元素的 集合是这集合的元素,那么这一集合有没有属于自己的元素呢,如果属于,可以推出不属于 ,如果不属于,可以推出属于这就是一个悖论。 右脚鞋是一个集合,右脚袜呢?因为袜不分左右。 还有无穷个数的比较,全体实数大于自然数,那么中间是否有数。 一个圆分成有限块后可以组成长方形,一个球可以分为两个同体积的球。

6 三大主义

1 直觉主义:以荷兰数学家为首,数学的真理要靠直觉,不承认存在性定理,证明存在却无 法求知是不可靠的。

2 逻辑定义:以罗素为代表,逻辑是数学青年时代,数学是逻辑的壮年时代,逻辑公理化。

3 形式主义;认为概念没有意义,形式才重要,提出了一套高度抽象的符号系统,把几何关系 合理化,合理系统是互相独立的。有相容性,完全性,但有人指出,这是矛盾的,任何相容 的体系都不完全,实际上是相容性本来不能判定。

有人希望借助一种方法来判定一个命题是可判定还是不可判定,否则还会有很多精力浪废 在不可判定的命题上。

四、数学的特征

1 高度抽象性:直接研究对象是思维,没有背景。比如圆,研究的不是圆的东西,而是抽象 出来的圆的概念。

2 严密的逻辑性

3 应用的个体性和统一性

五、数学的真理观

1 客观性:不同的地方可以有相同的结论。如中国和西方在没有联系的情况下相互独立地得 勾股定理。

2 实践性:数学是思维的产物,又适用于实践,时代的发展也推动数学发展,数学是时代的 产物。

3 第 五公式:过直线外一点只能作一条平行线,由于这一公理无法以实践来判定,所以欧 几里德避免使用,许多数学家为了证明这一公耗废了大量精力。

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