赵汀阳:二元性和二元论

选择字号:   本文共阅读 2471 次 更新时间:2011-10-19 13:26:58

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赵汀阳 (进入专栏)  

  不过最简单的不一定是最好的,这要看情况。例如二进制对于电脑是最好的,因为它的演算规则最少,但对于人来说,二进制显然会使我们看得眼花缭乱。顺便一说,十进制却是很坏的,假如由数学家来决定,强调实用方便的数学家会选择因数比较多的12;强调清楚明白的数学家会选择质数7或11,无论如何10是不会被考虑的(参见丹齐克《数,科学的语言》)。人们历史地选择了十进制,它虽然不好,但历史是不讲道理的。其实对于我们现在不喜欢的许多叙事和理解方式也是一样,它们是历史中形成的习惯,我们往往不得不利用那些传统的理解方式。

  

  3、关于排中律

  

  二元判断在思维上的必要性是一个涉及逻辑的问题,但这个问题是一个关于逻辑的哲学问题而不是一个逻辑内部的逻辑问题。强调这一点是因为我曾经讨论过这个问题而引起某些逻辑学者的误解,他们以为我试图用逻辑学之外的讨论方式去干涉逻辑学,但事实上我所讨论的只是哲学问题,所以讨论方式是哲学的。逻辑中有一些基本假设——往往只是暗中承诺而没有明说出来——是哲学性的,也就是说,这些假设不可能有属于逻辑学的“逻辑的”解释,它们和其他学科的基本假设一样都是哲学性的,都几乎是一些思想直观,这样一些思想直观一方面直接构成了我们思想的基础,另一方面又构成思想的基本困难,因为这些直观可能是合理的也可能是不合理的。这些通常被盲目承认的思想直观或假设恰恰就是没有解决的哲学问题。在这里我要讨论的正是这样一个问题。

  如上所述,我们通常使用的二元结构有两个类型,一个属于叙事方式,或者说理解—解释方式,它要求从两个角度、观点或方面去看事情:另一个是判断方式,它要求的其实是用来明确两种相反的可能性的某个条件,这是严格意义上的二元性,关键在于它只需要使用给定的一个条件,而这个条件制造了两种并且仅仅两种可能性。我相信,“一个条件,两种相反可能性”这个模式是一切逻辑判断的基本原则,其实这也就是同一律、矛盾律和排中律共同联合所描述的情况。直觉主义数学指出,我们不能无条件地滥用排中律,或者说,排中律并非在任何情况下有效。这说得很对,在我看来,排中律只有在矛盾律有效的情况下有效。这一点《墨经》早就意识到了:“彼,不两可两不可也”,“辩,争彼也,……是不俱当,不俱当必或不当”。这里至少指出了两点:(1)一个逻辑判断针对的是观念而不是事物;并且(2)只有当两个观念是对立相反的,排中律才有效。因此,排中律不能单独被理解,它必须和矛盾律一起被理解。如果意识到矛盾律是排中律的有效条件,就能够理解二元取值是逻辑思维唯一有意义的取值方式,如果不是需要在相反的可能性中分辨出结果的话,就不需要逻辑地判定。当只是去叙事、去理解、去解释,就根本不存在“你死我活”的要求,自然而然是多元的。

  有一些逻辑学家反对通常意义上被接受的排中律,进而反对二元取值(真假二值),声称真假值只不过是极端状态,其间至少存在着第三值甚至无穷多值。由此产生“三值逻辑”和“多值逻辑”。当然,设计一个在逻辑语言上没有问题的多值逻辑系统没有困难,但是这种想法却是一个哲学错误。

  多值逻辑的基本形式是三值逻辑,它企图在真(T)假(F)二值之间加入一个“真假不定”或“不真不假”的中间值M,由此可推广出多值模式:换个说法,假是0,真是1,则0—1的区间有无数个值。现在问题是,在真假之间是否存在着一个空隙足够容纳至少另一个值。

  多值的设想一开始就有一个小小的问题(结果是致命的)。由于“比真还真”或“比假还假”绝对是胡说,另一个值便似乎只能在T,F之间。这里隐藏的哲学问题是,不管根据的是什么条件,我们都是在某一种条件上知道命题p的真假的,即如果p满足条件c则为真,如果不满足条件c则是假。显然,条件c生产了两种可能性,或者说,根据c,我们仅仅知道两种可能性。那么,我们怎么能够知道还有第三种可能性呢?c并没有生产第三种可能性,因此,假如我们的思想需要其它可能性的话,就需要引入另一种条件d,而不能超出c的生产能力在c的范围内加入第三种可能性。由于逻辑仅仅考虑到抽象的真假,而没有考虑真假的实际语义,就很容易忽视特定条件c的局限性。想想看,如果考虑到别的可能性,就把它说成中间值,是什么意思呢?这好象是说,有个人宁愿以“方”和“圆”为值域来衡量事物,有一天他又想增加一个中间值,根据逻辑,这个中间值应该是“方的圆”。我们有时候不知道某些事情,这种“不知道”是的确什么都不知道,决不能因为不知道它是真还是假,因此就以为知道它“不真不假”——这一点恰恰也是不知道的。不管什么样的中间值,都是在什么都不知道的情况下冒充知道点什么。如果说逻辑混乱,思想就不清楚,那么也应该说,如果哲学假设有问题,逻辑也会有问题。想象真假之间有空隙,这是个错误的知识论假设。

  二元取值所以经久不衰,有两个基本的直观证明(类似于直觉主义数学关于自然数的直观证明):(1)行为证明。我们在任一时间t′只能选择做某种事情,或者不做某种事情,而不可能做又不做某种事情;(2)存在论证明。任一东西,在特定时间t′,或者存在,或者不存在,而不可能存在又不存在。可以说,(存在;不存在)是任何严格二元判断形式的样板。所谓“真”,只不过是“存在”的另一个表达,例如一个数学命题p是真的,指的是,某个系统S有一种方法把p在有限步骤内构造出来,即有限步骤使得p存在。于是,可以这样理解:(存在;不存在)是基本的二元形式,针对不同事情和不同附加条件,可以演变出一系列表达方式。

  现在来重新解释所谓“不真不假”的现象。考虑有模式(T,F),显然,我们是在规定了某个成真条件c的情况下才知道这里的(T,F)的完整语义,这个特定的c定义了这个(T,F)的有效空间,这个空间可命名为c空间,而c定义的真假则可记为(T,F)c。例如,如果以牛顿力学原理为标准,那么所要讨论的某个命题p是否为真就是指在牛顿空间中是否为真。现在出现某些现象在c标准下不能解释,就可能想到了需要另一个值U,毫无疑问,U不是c条件下被解释的T或F。假如根据这一点就推理出“U在T和F之间并且排中律失效”则是错误的,正确的推论应该是“U在(T,F)c之外”。为什么?因为由c所定义了的(T,F)空间是一个特定的、由c所规定了的封闭空间,而不是一个抽象的、开放的空间——这一点特别需要注意,我们一不小心就会以为(T,F)是随便一个空间或者是一个普遍有效的空间,根本不是。在这个问题上确实比较容易产生误解,由于我们在谈论逻辑,而又知道逻辑命题的真是所谓“在所有可能世界中为真”,不过应该看到,只有像p®(pÚq)或(pÚq)®(qÚp)诸如此类的命题才是在所有可能世界中为真的逻辑命题,如果单就简单命题p而言,它并不是逻辑命题而是指某个命题,可能是个经验命题,也可能是个哲学命题,或者别的什么命题,虽然在逻辑地谈论某个命题时可以不去谈论它的内容,但是不能忘记它是有内容的,它的内容虽然不是逻辑的,但却暗中限制着逻辑谈论的意义,因此我们不能抽象地理解真假,即使有时不用说出真假的实际意义,也不能忘记它有实际上的意义。

  既然U在(T,F)c之外,就是说,U在c空间之外,这意味着“某些现象在c空间中不能判定”。请注意,这本身恰恰就是一个判断。因此,所谓另一个值实际上只能是另一个层次的二元判断中的一个值,这个新出现的二元模式是(在c空间中可判定;在c空间中不可判定)。通常所说的第三值被消解了,它只不过是另一个更大规模的二元模式中的其中一个值。换一个说法,第三值不可能是一个中间值,不可能是分别与T和F同水平并列的另一个值,而是与(T,F)c这个整体单位并列的值,就是说,(在c空间中可判定;在c空间中不可判定)这个模式相当于[(T,F)c;(U)c]。这样的二元模式根据不同条件和情况可以有各种变化形式,所以永远不可能有无法还原为某种二值形式中的某个值的第三值。

  由此可以重新解释那些据说是需要第三值的现象:

  (1)未来事件问题。考虑命题“明天有足球赛”和“明天没有足球赛”。据说在此排中律失效,因为明天的可能性比足球赛多得多,也许是战争也许是股市大乱。可是这些情况已经超出原来规定的判断空间,它的真实要求其实不是第三值而是另一种判断空间。

  (2)数学问题。例如,假定π在展开中的k位置上连续出现7777(Bruower反对排中律的例子),这种情况是不可判定的,因为不能构造地证明这一点。但这并不意味有第三值,而是意味着需要大概是[(可构造地判定);(不可构造地判定)]这样的二元模式。多少有些奇怪的是,Bruower等人从直觉主义数学要求发现了我们实际上无法判定超出构造性条件的命题,却没有因此顺理成章地想到那是另一个层次。可见假如在哲学上没有仔细的考虑就可能会在逻辑上过于“平面地”看问题。

  (3)物理问题。量子力学实验有这样的现象:密封箱以隔板分为两个部分,隔板有原子足以通过的孔,按照排中律的想象,原子在左边或在右边,可是事实上原子同时在两边。实验当然没错,可是谁说能够这样使用排中律?难道我们指望逻辑和物理学一样吗?原子当然在两边,这是事实而不是逻辑的结果,逻辑管不了事实,只能管命题。把观念和事实混为一谈,或者说,以为观念都表达着事实的规律,这种想象是人们的一种习惯。逻辑仅仅是针对观念的,我们不能要求逻辑的规律在事物上也有效,因为事物并不按照逻辑来生成。逻辑与事物如果总是一致的,那倒是新鲜事情。

  顺便可以谈谈哥德尔定理,也许对理解上述的讨论有所帮助。哥德尔定理是以一个数学问题为背景的,简单地说就是,在一个数学系统中,根据公理并且按照推论规则能够证明的命题当然是真的,能够否证的命题当然是假的,但是因此还不能就有把握反过来说,在这个系统中的所有真命题都是可证明的,或所有假命题都是可否证的。这就是所谓完备性问题。我们知道,哥德尔证明了,在一个足够丰富的系统中总会有至少一个(也许有许多个)真命题对于这个系统而言是不可证明的,更准确一些说,如果一个形式系统理论T足以容纳数论而且是无矛盾的,则理论T必定是不完备的,因为其中至少有一个属于T的有意义的命题p是真的,但却在理论T中不能判定,这就是所谓不可判定的命题(也称哥德尔命题)。哥德尔指出了不可判定命题的确实存在意味着思维不可能完全被“算法地”描述,而且,在我看来,这还进一步意味着,一个足够丰富的系统所需要的真理概念不止一个。我们必须注意到,表达一个形式系统中根据公理和推论规则来证明的那些真命题的真理概念完全不同于表达那些不可判定的真命题的真理概念,它们根本不是同一个真理概念,那些可证明的真命题的真理概念就是这个系统的证明方法,而那些不可判定命题的真理概念则肯定是另一个概念,应该怎样表达它,倒是一个难题,也许与理性直观有一些关系,更可能与语义性质有关(因为哥德尔命题具有与说谎者悖论类似的自相关形式:“这个属于T的命题在T中不可证”)。无论如何,它们是两个真理概念。因此,我们可以看到,真理概念在真实情况上总是非常具体的,像哥德尔命题这样的不可判定命题,它的“在T中的不可判定性”与“在T中的可证明性”构成了二值判断结构,而这种不可判定的命题非常可能在某些由别的条件规定的逻辑空间里被判断为真的或假的(一个例子:费马大定理被认为可能是哥德尔命题的一个实例,现已被Wiles通过把原来的问题转换为别的数学领域中的问题而证明了)。显然我们不能用(真,不可判定,假)这样的平行的三值结构去理解哥德尔命题,否则会导致混乱甚至矛盾。

  我并不是想否定多值逻辑的思想价值,而只是说,如果理解到我们真实的思维所使用的二值判断模式是多种多样的,是有着许多层次的,或者说,如果理解了我们实际上有着足够丰富的二值模式,那么就可以承认二值判断在逻辑上是足够的,而多值逻辑则是多余的,它可以还原为多种相关的二值逻辑。“多值”的现象是有的,只不过属于关于对象的叙事方式,却不属于针对命题的判定方式,可以说,对象是多值的,命题是二值的,这两件事情不能混为一谈。当然,假如把二值模式简单地理解为只有一种模式,那二值逻辑就显得不够了。由此看来,人们对逻辑难免有些担心,因为逻辑有时候为了逻辑自身的简练漂亮而可能把逻辑发展成与人们真实思维非常不同的另一种思维,(点击此处阅读下一页)

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