要谈论数学哲学的现代发展，首先需要简略回顾一下前一个时代的终结，所以本文将包含两个部份，但重点是第二部分。
一、一个时代的终结
所谓数学哲学的现代发展，是相对于以数学基础研究为中心的时代而言的。从1890到1940年的五十年，可以说是数学哲学研究的一个黄金时代。弗雷格（G.Frege）、罗素（B.Russell）、布劳维尔（L.E.J.Brouwer）和希尔伯特（D.Hilbert）等人曾围绕数学基础问题进行了系统和深入的研究，并发展起了逻辑主义、直觉主义和形式主义等具有广泛和深远影响的数学哲学观，从而为数学哲学的研究开拓出了一个崭新的时代（参见［1］或［2］）。
正因为这是一个以基础研究为中心的时代，在数学哲学领域中就曾出现过这样一些特殊现象：有不少数学哲学的著作就是以数学基础为名的。如弗雷格的《算术基础》，维特根斯坦（L.Wittgenstein）的《关于数学基础的评论》，怀尔德（R.Wilder）的《数学基础导论》，弗兰克尔（A.Fraenkel）和巴－希勒尔（Y.Bar－Hillel）的《集合论基础》等等。另外，如果随意地打开一本数学哲学的著作，只要它是在这一时代或是在稍后的年代出版的，也一定可以发现有关基础问题或逻辑主义等学派的述评在其中占有主要地位。然而，这一时代现在已经过去了。作为这一时代终结的重要标志就是关于基础研究在总体上的反思。例如，这种反思即成为下述的一系列论文的主要论题：拉卡托斯（I.Lakatos）的“无穷回归与数学基础”，卡尔马（L.Kalmar）的“数学的基础—今在何方？”普特南（H.Putnam）的“没有基础的数学”，斯莱尼斯（E.Sleinis）的“数学需要基础吗？”沙克尔（S.Shanker）的“数学基础的基础”等等。
人们经由反思产生了哪些结论呢？这可以大致归结如下：
（1）认识到数学中并不存在所谓的“基础危机”。因而，所谓的基础研究也就不具有任何特别重要的意义，或者说，数学基础问题不应被看成数学哲学研究的主要内容。
例如，普特南等人就曾对导致“数学基础危机”这一说法的若干困惑问题进行过具体分析：
首先的一个问题是，集合论悖论的发现是否证明了已有数学的不可靠性？（参见［1］，第141页。）确实，集合论悖论被发现的最初一段时期，曾使一些数学家感到很大的震惊。但是，正如［6］指出的，进一步的研究表明：“数学活动的真正领域，无论是分析或几何，都没有直接受到悖论的影响，它们只是出现于那些特别一般的领域，而这远远超出了实际使用这些学科的概念的领域。”因此，所谓的“危机感”就只是一个“历史的现象”，而实际上早已不再存在。与此相反，现今为人们所普遍接受的却是关于数学的坚强信念。例如，斯坦纳（M.Steiner）、莱曼（H.Lehman）与基切尔（P.Kitcher）等人都曾不约而同地指出，这是数学哲学研究的一个明显和无可辩驳的出发点：人们具有一定的数学知识，这些知识是可靠的，也就是已经获得证实了的真理（见［12］、［13］、［14］）。
第二个问题是，在如何解决悖论问题上缺乏统一的意见是否意味着数学的研究不再具有统一的基础？（参见［6］，第15页。）事实上，如今的普遍看法是：现行的公理化集合理论，如ZF系统和BG系统，已经为数学的研究提供了一个合适的基础，因为，这些理论的基本原则是为一般数学家所几乎一致地接受的，而且，所有已知的悖论在其中都已得到了排除（这就是说，这些悖论不可能按照原来的方法在其中得到构造），再者，在理论系统中至今并没有发现新的悖论。
第三个问题是，非欧几何的建立是否意味着“数学真理性的丧失”？（参见［15］，229－305页。）正如普特南指出的，非欧几何的创立，只是表明了“自明性”并不能被看成相应结论绝对真理性的保证；因而，我们所应抛弃的仅仅是关于数学具有绝对的先天真理性的观点，而不能因此否定数学的真理性。实际上，数学作为研究理想化的“量化模式”的科学，数学模式具有的“形式客观性”即蕴涵了“模式真理性”，而反映各种可能的不同空间结构形式的那些几何模式（一类量化模式）具有多样性是很自然的事。（参见［23］、［24］。）
综上所述，人们就得出了这样的结论：“不能认为数学是含糊不清的；也不能认为数学在其基础中有任何危机”；“我们不必去继续寻找基础而徒劳无功；我们也不必因缺乏基础而迷惑徘徊或感到不合逻辑”。（参见［9］、［17］。）
当然，在断言“数学基础问题已不再是数学哲学研究的中心问题”的同时，我们并不能因此而否定基础研究的意义。事实上，后者现今在很大程度已经成为一种专门的数学研究；另外，作为先前的数学基础研究的继续和发展，相应的哲学思考也具有一定的哲学意义，特别是，由于集合论在现代数学中占有特别重要的地位，关于集合概念的深入分析就是现代数学哲学研究的一个重要课题。但是，这又只是全部数学哲学的一个部分，而不应被看成数学哲学的中心问题或主流。
（2）发现已有的观点不能令人满意，因此需要寻找新的出路。
例如，鲁滨逊（A.Robinson）虽把1890年至1940年的这五十年称之为“数学哲学的黄金时代”，但他还是认为所有那些作为数学的哲学基础而提出来的观点都具有严重的缺陷和困难。（参见［16］，228－229页。）另外，普特南则采取了更为直接的批判立场，认为“数学哲学中的各种体系无一例外都是不用认真看待的。”（［9］，43－45页。）
实际情况是，数学哲学的研究曾由于逻辑主义等学派的失败而一度陷入低谷，并被描述成“进入了一个悲观的、停滞的阶段。”（［8］，第192页。）但是，人们现已摆脱了这种悲观的情绪，并积极从事于新的研究。例如可从以下的一些论著清楚地看出：赫斯（R。Hersh）：“复兴数学哲学的一些建议”，拉卡托斯：“经验主义在现代数学哲学中的复兴？”托玛兹克（T.Tymozko）：《数学哲学中的新方向》等。
综上可见，数学哲学的研究已经脱离了数学基础研究的传统框架，从而就已告别了旧时代而进入一个新的历史时期。
二、数学哲学的现代发展
自六十年代起数学哲学便进入了一个新的发展时期。与基础研究相比，这一新的发展表现出了一些显著的不同特点。
（1）研究立场的转移，即由严重分离转移到了与实际数学活动的密切结合。
具体地说，在基础研究中，尽管逻辑主义等学派提出了不同的主张，但他们所实际从事的都是一种规范性的工作。这就是说，他们的共同出发点是对于已有数学可靠性的忧虑或不满，他们又都提出了关于数学可靠性的某种标准，并力图按照这样的标准去对已有的数学进行改造或重建。这也就正如伯纳塞洛夫和普特南所指出的：他们所考虑的主要是“‘合法’的数学应当是什么样的？”他们并企图为实际的数学活动提出明确的规范，即“什么样的概念和方法是合法的，从而可以正当地加以使用”。（参见［1］，第2页）
正因如此，数学基础研究在整体上就暴露出了严重脱离实际数学活动的弊病。与此相比，人们在现代的数学哲学研究中则已注意到了采取新的基本立场。这就如同赫斯在“复兴数学哲学的一些建议”中所指出的：在数学哲学的研究中我们应当采取一种不同的态度，即“不承认任何一种先验的哲学信条有权告诉数学家应该做什么，或者宣称他们正在不由自主地或不知所谓地正在做什么”，而应“真实地反映当我们使用、讲授、发现或发明数学时所作的事。”这也就是说，数学哲学应当是正在工作的数学家们的“活的哲学”，即研究人员、教师和使用数学者对他们所从事的工作的哲学见解。（［16］，第二期，75－76页，第一期，第52页。）
研究立场的转移直接导致了新的数学观念。例如，正是基于对数学家实际言行及数学史上实例的考察，出现了经验主义在现代数学哲学中的“复兴”（可参见［8］、［13］、［14］、［18］），而这不仅是对于逻辑主义等学派理性主义立场的一种“反动”，而且也是依据数学的现代发展对传统的经验主义数学观（这是以穆勒［J。Mill］为主要代表的）作出的重要改进或修正。其次，除“经验性”以外，一些数学哲学家还突出强调了数学的“拟经验性”，即认为除实践的标准以外，数学还具有自己相对独立的检验标准—显然，这即是对于数学特殊性的直接肯定（可参见［7］、［21］、［22］）。最后，也正是基于数学的现代发展，一些学者提出了“数学是模式的科学”的观点（可参见［23］），而这即可看成关于“什么是数学”的明确回答。
应该提及的是，我们也在上述方向上作出了独立的研究工作。这首先是关于数学抽象的定性分析。具体地说，我们认为，除抽象的内容、量度以外，数学抽象的特殊性更在于它的特殊方法：在严格的数学研究中，无论所涉及的对象是否具有明显的直观意义，我们都只能依据相应的定义（显定义或隐定义）和推理规则去进行演绎，而不能求助于直观，从而，在这样的意义上，数学的抽象事实上就是一种“建构”的活动—数学的研究对象即是通过这样的活动得到构造的。正因为此，数学对象的建构即就意味着与真实的分离。这就是说，在纯粹的数学研究中，我们是以抽象思维的产物为直接对象，而不是以其可能的现实原型为直接对象从事研究的；进而，相对于经验的研究而言，以抽象思维的产物为对象从事研究也就具有更为普遍的意义：它们所反映的已不是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同特性。为了清楚地表明数学对象的相对独立性及其普遍意义，并考虑到数学抽象的特殊内容，可以把数学的研究对象特称为“量化模式”；从而，对于“什么是数学”的问题我们就可作出如下的解答：数学即是量化模式的建构和研究。由于这同时表明了数学的研究对象与方法，因此就可被认为关于数学的一个较为合适的“定义”。另外，这事实上也就为上述关于“数学是模式的科学”的论述提供了必要的补充和说明。
其次，以上述关于数学抽象的定性分析为基础，我们进一步发展起了一个系统的数学哲学理论—“模式论的数学哲学”，包括模式论的数学本体论、数学真理的层次理论和模式论的数学认识论（可参见［24］、［25］、［26］、［27］），从而为传统的数学哲学问题提供了明确的解答。首先，由于数学对象是借助于明确的定义得到建构的，而且在严格的数学研究中，我们又只能依靠所说的定义去进行推理，而不能求助于直观，因此，尽管某些数学概念在最初很可能只是少数人的“发明创造”，但是，一旦这些对象得到了“建构”，它们就立即获得了确定的“客观内容”；又由于这种客观内容不可能借助与真实世界的联系得到直接的、简单的说明，因此，从本体论的角度说，既应肯定数学对象对于思维的依赖性，同时又应承认数学对象构成了与真实世界不相同的另一类独立存在（对此可特称为“数学世界”）。这就是说，正是所说的建构活动促成了其由主观的思维创造向客观的独立存在的转化。其次，所谓“数学真理的层次理论”，其核心内容即是指数学真理具有一定的层次性：第一层次即“现实真理性”—表明数学理论是对于客观世界量性规律性的正确反映；第二层次为“模式真理性”—如果一个数学理论建立在合理的抽象思维之上，即可认为确定了一个量化模式，该理论就其取得的形式客观性而言则可被认为是关于这一模式的真理。显然，相对独立的“模式真理性概念”的引进，乃是承认数学对象独立存在性的直接推论或必然发展，而这同时也就清楚地表明了数学思维的某种“自由性”：数学家们在一定程度上可以自由地去创造自己的概念，而无须随时去顾及它们的真实意义。最后，从认识论的角度说，真理的层次性也就表明了数学的认识活动具有多种不同的标准，特别是，除实践的标准以外，数学研究还具有相对独立的数学标准，即如新的研究是否有利于认识的深化以及方法论上的进步等。显然，后一分析与上述关于数学“拟经验性”的断言是完全一致的；或者说，在一定的限度内，我们可以单纯凭借数学思维与数学世界的相互作用使认识得到发展和深化：
（2）研究的内容和方法表现出了明显的开放性，特别是由一般科学哲学中吸取了不少重要的研究问题和有益的思想，这就和以往的封闭式的数学基础研究大相径庭。
例如，拉卡托斯所倡导的拟经验的数学观事实上就是将波普尔（K.Popper）的证伪主义科学哲学理论推广应用到了数学的领域；另外，在库恩（T。Kuhn）的科学哲学研究的影响下，则出现了关于数学的社会–文化研究。
就后者而言，我们应当特别提及基切尔的“数学活动论”（［14］）。这一理论的基本观点就是认为数学不应简单地被等同于数学知识的汇集、而应被看成人类的一种创造性活动。基切尔并对“数学活动”的具体内容进行了分析，即认为数学应被看成是由“语言”、“方法”、“问题”、“命题”等多种成分所组成的一个复合体。显然，这种关于数学的动态研究是与先前的研究传统、也即单纯着眼于数学知识的逻辑结构的静态分析大相径庭的。另外，新的研究的又一重要特点则是突出强调了数学研究的社会性。这就是说，在现代社会中，每个数学家都必然地是作为相应的社会共同体（可称为“数学共同体”）中的一员从事研究活动的，从而就自觉地或不自觉地处在一定的数学传统之中；特殊地，一种数学模式的最终建立也就取决于数学共同体的“判决”：只有为数学共同体一致接受的数学概念、方法、问题等才能成为真正的模式。显然，按照这一分析，在论及数学（活动）的“客观内容”时，我们就应在“语言”、“方法”等成分上都加上“数学共同体所一致接受的”这样一个限制词；另外，我们也就应当把作为数学传统具体体现的各种“观念”，即如数学观和应当怎样去从事数学研究的共同认识等，看成数学（活动）的一个重要组成成份。
另外，所谓数学的文化研究还包含了多种不同的意义。例如克莱因的《西方文化中的数学》（［20］）就是从一个角度表明了数学作为一种“子文化”与整个人类文化的关系。另外，怀尔德（R.Wilder）则集中地研究了数学发展的规律和动力（［28］、［29］）—在怀尔德看来，这就清楚地表明了数学的相对独立性，而这事实上也就是数学能被看成人类文化的一个子系统的必要条件。最后，本文作者之一也在这一方向上进行了一些研究，特别是从整体上对数学的文化功能，也即数学与“真”、“善”、“美”的关系进行了分析（［30］、［31］、［32］）。
最后，与实际的数学活动（包括数学研究和数学教育）的密切联系也可看成为现代数学哲学研究开放性的一个重要表现。特别是，作为对于思想方法的研究，数学方法论的研究在现代得到了新的发展。就后一方面的工作而言，我们当然应当首先提及着名数学家波利亚（G。P′olya）对于数学启发法的“复兴”。因为，正是波利亚在这方面的工作（［33］、［34］、［35］）为现代的数学方法论研究奠定了必要的基础，特别是确定了这种研究的性质—这主要是一种启发性的研究。（可参见［36］）另外，应当提及的是，数学方法论在中国现已得到了普遍的重视。例如，我们在这一方面所获得的一些研究成果（［36］、［37］、［38］、［39］）已开始在实际的数学活动中产生着积极的影响。特别是，数学方法论的研究更被有些中国数学家和大学教师说成是促成中国数学教育现代发展三大要素之一。事实上，由美国数学教育的具体考察可以看出，数学观的演变正是促成数学教育现代发展的一个重要原因（可参见［40］或［41］）。显然，这就更为清楚地表明了数学哲学研究的积极意义。
综上可见，无论就研究的问题、或是就基本的立场和观念而言，现代的数学哲学研究与先前的基础研究相比都已发生了重要的变化，这种变化已经、并将继续对实际的数学活动产生重要和深远的影响。
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作者单位：本文作者分别任教于加拿大曼尼托巴大学和南京大学哲学系。
原载于《数学传播》第十八卷第一期。
