陈晓平:事件的独立性和可交换性——评德菲耐蒂的主观主义概率理论

选择字号:   本文共阅读 1043 次 更新时间:2014-09-28 11:54:42

进入专题: 可交换性   独立性   常概率   无差别原则  

陈晓平(华南师大) (进入专栏)  
而不是绝对的;并且这种差别不影响对其试验结果是否独立的判断。因为,试验结果是否独立,与其概率是否被知道是无关的,只与试验机制有关。比如,投掷匀称硬币和从装有相同数量的白球和红球的罐中取球都属于第一种情况,但是只要投掷硬币的过程不是随机进行的(即各次投掷是有差别的),或者从罐中取球不是有放回的而是无放回的,硬币下落后正面朝上或从罐中取到黑球的概率就不是恒定的,因而不是独立的。这表明,决定试验结果是否概率独立的因素不是概率值是已知的还是未知的,而是试验机制对于各次试验结果是否无差别的。

   德菲耐蒂根据未知常概率在值上的不确定性来否认相关事件的概率独立性,这是不妥当的。即使他用“可交换性”替换“独立性”也不能取消常概率事件的独立性,而无论常概率是已知的还是未知的;因为常概率与独立性直接相关而与已知和未知是无关的,而事件的独立性是由产生它的试验机制决定的,试验机制的性能是不能够通过术语的改变而改变的。这种由试验机制决定的独立性在一定意义上可以叫做“客观独立性”。

   笔者赞同吉利斯的这一评论:“我们根本就不能够把‘客观独立性’概念归约为‘可交换性’概念,实际上‘可交换性’概念是寄生于‘客观独立性’概念的,因而是多余的。为了能以一种不会导致不正确的和使人误解的结果的方式使用可交换性,我们首先就得确保相关的情况在客观上是具有独立性的。我们要想坚信确实做到这一点,就只能是,猜想这种情况是具有独立性的并对这个假定加以严格的检验。如果我们的猜想通过了这些检验,那么我们便可以基本正确地使用涉及可交换性的计算方法,但其实无需这样做,因为我们可以使用独立性和客观概率,以标准的方式来处理这个问题。那么,在这种情形中,可交换性就是不必要的。另一方面,如果我们的检验表明该情况不具有独立性,那么使用可交换性就会得出误导人的结果,这是应该避免的。因此,在这两种情形中都不存在任何可以使用可交换性的理由。”

  

   四、受命题关系制约的独立性

   在笔者看来,德菲耐蒂之所以犯下这一错误,还有一个原因是他混淆了“试验结果之间的概率独立性”和“关于试验结果之概率的假说对于试验结果的独立性”。前者通过试验机制的无差别性是可以得到的,而后者在原则上是不可能得到的,否则就使该假说失去科学意义,因为这意味着该假说是不受经验检验。德菲耐蒂正确地看到关于未知常概率的假说对于试验结果的依赖性,但却由此错误地否定了具有未知常概率的事件的独立性。

   德菲耐蒂说道:“独立在这里是一个错误的概念,至少是误导性的。正如在此情况中,对某些事件的观察是用以修改我们对未观察的(或者我们对之尚无信息的)试验的概率指派,那么这些事件远远不是独立的。那里只有条件独立(conditional independence)——那就是说:独立是以某种知识为条件的,而该知识是关于若干假说中哪一个是真的。相信机会(把概率解释为机会——引者)的人或许愿意称之为‘机会式独立’(chancewise independence)或诸如此类,用以强调独立(概率的或随机的独立)的一种平行物,但是这种用法几乎注定是混淆的和笨拙的,甚至对他们自己来说也是如此。对于我们来说,没有什么特殊理由需要把这种条件独立同其他条件独立区别开来,恰恰相反,正是普遍的条件独立的概念应该被强调,以提醒人们勿在独立概念上发生混淆。”

   德菲耐蒂这里所说的“机会式独立”是指以哈金(Ian Hacking)为代表的客观主义概率论的观点,即把“概率”解释为给定物理机制的“倾向性质”(dispositional property)。相应地,机会式独立也是给定物理机制的倾向性质,既然它是关于概率的。这种机会式独立类似于吉利斯所说的“客观独立性”和笔者所说的“试验机制的无差别性所导致的试验结果的独立性”,它同德菲耐蒂所说的“事件依赖于若干假说中的某一假说的独立性”是有根本性区别的。但是,在德菲耐蒂看来,依赖于假说的条件独立性和依赖于试验机制的条件独立性本质上都是主观的,因而没有必要加以区分,可以统一地代替为“可交换性”。可交换性表达一种“普遍的条件独立的概念”,即以主观知识为条件的独立性。

   笔者承认德菲耐蒂的说法有一定道理,即机会式独立说到底仍然是相对于人们对于试验机制的某种认识而言的,具有一定的主观性。但是,不同意他将“假说式独立”和“机会式独立”在其主观性或客观性上等量齐观的做法。笔者认为这两种独立性是有根本区别的,而且其作用也是根本不同的。让我们举例说明二者之间的区别。

   关于投掷一枚不匀称硬币而出现正面朝上的概率,现设我们由于某种理由事先给出三个不同的假说而且相信它们必有一真。假说h1表示“这枚硬币正面朝上的概率是0.7”,h2表示“这枚硬币正面朝上的概率0.5”, h3表示“这枚硬币正面朝上的概率是0.3”;并对这三个假说持有相同的置信度即:P(h1)=P(h2)=P(h3)=1/3。如果h1是真的,那么投掷这枚硬币后其正面朝上的概率是0.7,因而是具有常概率的独立事件;如果h2是真的,那么投掷这枚硬币后正面朝上的概率是0.5,因而也是具有常概率的独立事件;如果h3是真的,那么投掷这枚硬币后正面朝上的概率是0.3,还是具有常概率的独立事件。这就是德菲耐蒂所说的以假说为条件的独立事件。然而,随着观察证据的增加,我们对这些假说的置信度会发生变化,如变为:P(h1)=1/7,P(h2)=2/7,P(h3)=4/7。相应地,“这枚硬币正面朝上”这一事件的概率p也会发生变化,由P=0.7×1/3+0.5×1/3+0.3×1/3=0.5,变为:P=0.7×1/7+0.5×2/7+0.3×4/7≈0.4。可见,这个所谓的“独立事件”并不是概率独立的。正因为此,德菲耐蒂说“独立”这个概率是误导性的,并用“可交换事件”取而代之。

   然而,德菲耐蒂的这个说法是粗略的,准确的说法是:我们关于这枚硬币正面朝上的概率值p的知识是依赖于这些假设及其概率的,但是我们关于这枚硬币正面朝上的结果在每次投掷中的概率独立性的知识却不是依赖这些假设的,而是直接依据试验机制的“倾向性质”即无差别性。不仅如此,甚至那些假设的提出也是以试验机制的无差别性为依据的,如果试验机制对于各次试验结果是有差别的,那么,我们就没有理由假定这枚硬币正面朝上的结果具有一个常概率,更不用说它的值是什么。可见,我们有必要区分两种独立性,即基于物理机制的“机会式独立性”与基于假说的“假说式独立性”。机会式独立性是由试验机制直接决定的,因而是基本的或不受其他命题关系制约的,而假说式独立性除了受制于试验机制还要受相关假说的命题关系的制约。对此,我们给以进一步的分析。

   现假定我们讨论一个独立重复试验的结果为A的未知常概率。命题e表示该独立重复试验的前n个试验结果的合取即:E1∧E2∧…∧En,假说Hn+1是指该独立重复试验的第n+1次试验结果为A,P(Hn+1)是指这个假说的验前概率,P(Hn+1/e)是它基于证据e的条件概率。一个相关的概率定理(一种简化的贝叶斯定理)是:

   P(H_(n+1)/e)=(P(e∧H_(n+1)))/(P(e))      (1)

   其中的e∧Hn+1断定的是n+1个试验结果即:E1、E2…En 和En+1,并且这n+1个结果是相互独立的。按照通常的独立性概念,P(e∧Hn+1)=P(e) P(Hn+1),代入式(1)后得P(Hn+1/e)=P(Hn+1)。这意味着,通常的独立性概念使假说Hn+1不受经验证据的影响,从而使我们不能“从经验中学习”。这就是德菲耐蒂摈弃“独立性”概念的逻辑上的理由。

   对于德菲耐蒂的这一观点,笔者的批评意见如下:根据贝叶斯定理,Hn+1和e并非相互独立,除非P(Hn+1)等于1或0。既然我们谈的是未知常概率,故P(Hn+1)不为1或0,因而,P(Hn+1/e)≠P(Hn+1),相应地,P(e∧Hn+1)≠P(e)P(Hn+1)。请注意,当我们谈论的不是未知常概率而是已知常概率p时,其意思包含着:P(Hn+1/e)=P(Hn+1)=p,相应地,P(e∧Hn+1)=P(e)P(Hn+1)。德菲耐蒂注意到关于未知常概率的假说与关于已知常概率的命题在独立性上的区别,但他却误把这种区别看作由“独立性”概念引起的不协调。但从以上分析可以看出,这里没有什么不协调,即:关于未知常概率的假说是依赖证据的,而关于已知常概率的命题是独立于证据的。

   刚才提到,e∧Hn+1断定的是n+1个结果即:E1、E2…En 和En+1,并且这n+1个结果是相互独立的。因此,在n+1次试验中A出现r+1次的试验结果依A出现的次序不同而共有 种可能性,并且这 种可能结果也是等概率的因而是相互独立的,用德菲耐蒂的术语说是可交换的。但是,必须强调,这个结论是从假说Hn+1与证据命题e的合取e∧Hn+1派生出来的,对它的运算必须服从这两个命题之间的关系。既然P(e∧Hn+1)≠P(e)P(Hn+1),相应地,P(E1∧E2…∧En∧En+1)≠P(E1∧E2…∧En)×P(En+1)。当然,如果不考虑命题(假说)之间关系的限制,对于具有常概率p的事件E1、E2…En 和En+1而言,P(E1∧E2…∧En∧En+1)=P(E1∧E2…∧En)×P(En+1)。其实,这时的常概率p是被作为已知的概率来对待,既然已经让p脱离假说而存在。由此可见,重要的是区别受命题关系制约的事件之间的概率关系和不受命题关系制约的事件之间的概率关系,当我们做出这种区别之后,我们既可保留“独立性”概念,又可“从经验中学习”。相应地,德菲耐蒂用“可交换性”来取代“独立性”的逻辑理由便不存在了。

   进而言之,受命题关系制约的事件只能作为相应的集合的成员而出现,它们之间的关系不能分解为其子集之间的关系,否则有可能违反由以派生的命题之间的关系。例如,由e∧Hn+1决定的事件集合是{E1,E2,…En, En+1},其成员Ei之间的关系如独立性不能分解为{E1,E2,…En}和{En+1}之间的关系即P(E1∧E2…∧En∧En+1)=P(E1∧E2…∧En)×P(En+1),尽管不受命题关系制约的事件之间的独立性是可以这样来对待的。

   德菲耐蒂正是看到前面那种不能分解的情形,就取消了“独立性”的合法性,而代之以“可交换性”。现在我们看到,独立性仍然可以保留而且必须保留,只需要区分“受命题关系制约的独立性”和“不受命题关系制约的独立性”,即“假说式独立性”和“机会式独立性”,它相当于“未知常概率事件的独立性”和“已知常概率事件的独立性”之间的区分。事实上,后一种区分是德菲耐蒂认可的。

   由于关于未知常概率的命题只能以假说的身份出现,其独立性注定受它与证据命题之关系的制约,同时还受试验机制的制约,所以,即使把未知常概率的独立性换成可交换性,它仍然受试验机制的制约,即受“客观独立性”的制约,而不能取代客观独立性。正如吉利斯所说,可交换性是寄生于客观独立性上的,因而用“可交换性”来代替“独立性”是本末倒置的。

  

   五、等概率性和无差别原则

德菲耐蒂承认可交换性与等概率之间有着极为密切的关系,甚至就是同一个概念。他说道:“定义‘可交换事件’的这些条件从主观主义概率论的观点看来具有直接的、十分清楚的意义,而且,在许多实践场合中,这些条件总是自动地呈现在我们心中。这一点足以说明我们对于频率的稳定性的信念,因为根据这个假说,相对于某种频率的观察,(点击此处阅读下一页)

进入 陈晓平(华南师大) 的专栏     进入专题: 可交换性   独立性   常概率   无差别原则  

本文责编:川先生
发信站:爱思想(http://www.aisixiang.com),栏目:天益学术 > 哲学 > 逻辑学
本文链接:http://www.aisixiang.com/data/78408.html
文章来源:作者授权爱思想发布,转载请注明出处(http://www.aisixiang.com)。

2 推荐

在方框中输入电子邮件地址,多个邮件之间用半角逗号(,)分隔。

爱思想(aisixiang.com)网站为公益纯学术网站,旨在推动学术繁荣、塑造社会精神。
凡本网首发及经作者授权但非首发的所有作品,版权归作者本人所有。网络转载请注明作者、出处并保持完整,纸媒转载请经本网或作者本人书面授权。
凡本网注明“来源:XXX(非爱思想网)”的作品,均转载自其它媒体,转载目的在于分享信息、助推思想传播,并不代表本网赞同其观点和对其真实性负责。若作者或版权人不愿被使用,请来函指出,本网即予改正。
Powered by aisixiang.com Copyright © 2022 by aisixiang.com All Rights Reserved 爱思想 京ICP备12007865号-1 京公网安备11010602120014号.
工业和信息化部备案管理系统