所以要求变元 X 对于变元 Y 的因果效应，需要条件化协方差集 Z，以满足如下的要求：

　　

　　 1） 阻塞所有从 X 到 Y 的虚假路径。

　　

　　 2） 使得那些真正的因果路径不受影响。

　　

　　 3） 不产生新的虚假路径。

　　

　　 而后门准则正是为了达到这个目的。

　　

　　 后门准则：

　　

　　 1. Z 不是 X 的子孙。

　　

　　 2.  Z 阻塞了所有 X 到 Y 的后门路径。

　　

　　 后门准则的条件 1 满足了要求 3），而条件 2 满足了要求 2）和 1）。 所以如果我们所考虑场景的模型就是图 1 中的左图，那么根据后门准则我们要条件化 Z，所以正确的决策就要考虑分离的数据；如果我们所考虑的场景的模型是图 2 中的右图，我们不需要条件化 Z，所以正确的决策在聚合的数据中。

　　

　　

正如马克思所说，我们不只是要去理解世界，我们更重要的是要去改变世界，辛普森悖论逻辑基础的解释，或者因果基础的解释，对于现实世界的大多数人而言也许并不重要，最关键的问题在于，当我们真正面对这样一个悖论的时候，我们应该如何处理？他们所需要的只是一个简单直接的结果。班德亚帕德耶没有为这样的问题提供任何答案，而珀尔不只是回答了这个问题，也在他一以贯之的理论框架之下回答了第一个和第二个问题。这也是我在情感上更为信靠珀尔理论的地方。

　　

　　

　　 四、对班德亚帕德耶的另外两个反驳

　　 我再前面介绍这三个问题的时候已经逐一讨论了它们的问题和争点，还有几点，我们需要再详细讨论

　　 一下：

　　

　　 1. 相同数据不同回答

　　 我们先来看两个数据：

　　

　　

这个数据是农业的例子，W  代表的是白色品种，～W  代表的是其他的一个品种，Y 代表的是产量。

　　

　　

表 4: 辛普森悖论（关于药物的例子）

　　

　　 这个数据是药物的例子，T 代表的是服药，R 代表的是康复。班德亚帕德耶（[3], p. 66-67） 举了上面两个例子来说明，首先，对于每一个辛普森悖论的情形，哪怕它和其他情形的辛普森悖论数据相同，对于诉诸于哪一个数据，总体还是子总体，可能会有不同的回答，即没有一个统一的回答。（正如农业的例子和药物的例子，我们得到的数据相同，但是关于农业的例子，决策的时候我们诉诸于数据总体，而关于药物的例子，决策的时候我们诉诸于子总体）。其次，班德亚帕德耶也承认，当面对同样数据的两个不同情形的时候，解决如何决策的问题就要诉诸于 “实质的背景信息”（[3], p.68），而这些背景信息实质上就是因果。

　　

　　 面对班德亚帕德耶的质疑，我认为珀尔的回答如下：首先，上述两个例子尽管数据相同，但是回答的确不一样，但是没有一个统一的答案，并不意味着这里就有任何的问题，至少从珀尔的解决路径看来，相同的数据不同的回答没有任何矛盾，之所以会有这样的情形出现时因为数据背后的故事不同，而珀尔也指出了面对这样一种困难的时候，我们如何通过 do-演算或者后门准则来找到正确的答案。所以就算是没有一个统一的答案，但是有一个证明没有出错的解决问题的理论，没有统一的答案的责难也就没有什么意义了。其次，班德亚帕德耶认为自己找到了辛普森悖论产生的逻辑基础，只要数据符合那样的逻辑结构就会产生产生了悖论。但问题是，特别是像辛普森悖论这样迫在眉睫的决策问题，这样一个逻辑结构本身对于问题的解决于事无补。

　　

　　 2. 因果直觉的反例

　　 班德亚帕德耶（[3], p.65）举了一个反例来说明诉诸于因果直觉并不是辛普森悖论之为悖论的真正原因，因为这个例子不存在任何需要诉诸因果直觉的地方，尽管它也是辛普森悖论。

　　

　　 假定我们有两袋子石头，每一个石头要么大要门小，要么是红色要么蓝色。下图表中说明的是，在每一个袋子中，红色大石头的比率要大于红色小石头的比率，但是如果我们把两袋的石头混合在一起，比率大小与之前的相反。

　　

　　 表 5:  辛普森悖论（关于石头的例子）

　　

　　 班德亚帕德耶（[3]） 认为上述的例子并不包含任何因果的直觉的假定，但是它仍然是辛普森悖论的一个例子。而珀尔（[10]）的文章中实际上已经解决了这个问题，文章中区分了“辛普森反转”和“辛普森悖论”。在珀尔看来为什么一个身家清白的，关系的算术反转（辛普森反转），哪怕是有一些不寻常，为何被冠以“悖论的” 头衔的呢？那是因为在决策的时候，我们赋予辛普森反转以因果的含义。从药物的例子我们就会得到一种药物对男性和女性都有效，但是对于人类总体却是无效的！根据 “确定性原则”，这是不可能的。于是才有了辛普森悖论。

　　

　　 五、结论

　　 辛普森反转和辛普森悖论的区分实际上已经免疫了班德亚帕德耶对其的指控，在珀尔看来班德亚帕德耶所认为的那一个反例只是辛普森反转，并不是辛普森悖论，因为尽管我们总是倾向于把统计的关系赋予因果的解释，但是这个反例无法给予因果的解释，或者就算能够赋予因果的解释，也并不存在一个决策的困境，而只有赋予了因果的解释之后面临一个决策的困境的时候，这个辛普森反转才成其为辛普森悖论。但是班德亚帕德耶对于辛普森悖论产生的形式条件的分析的意义也有其意义，它使得我们明白，辛普森悖论从根子上来看就是一个比率的算术问题，但是我们给这样一个没有任何问题的逻辑骨架披上因果的外衣，放到现实世界的情境中，就让我们有了荒谬之感，悖论由此产生。

　　

　　

　　

　　 [参考文献]

　　

　　

　　 [1] Bandyoapdhyay, Prasanta S, Davin Nelson,  Mark  Greenwood,  Gordon  Brittan a Jesse Berwald. The logic of Simpson’s paradox. Synthese. 2011, 181(2), 185–208.

　　

　　 [2] Bandyopadhyay, Prasanta S, Mark Greenwood, Don Dcruza Venkata Raghavan. Simpson’s paradox and causality. 2015.

　　

　　 [3] Bandyopadhyay, Prasanta S, R Venkata Raghavan,Don Wallace Dcruz a Gordon Brittan jr. Truths  about simpson’s Paradox: Saving the Paradox from Falsity. In: Indian Conference on Logic and Its Applications. B.m.: Springer, 2015, s. 58–73.

　　

　　 [4] Simpson, Edward H. The interpretation of interaction in contingency tables. Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological). 1951, 238–241.

　　

　　 [5] Pearson, Karl, Alice Lee a Leslie Bramley-moore. Mathematical contributions to the theory of evolution.VI. Genetic (reproductive) selection: Inheritance of fertility in man, and of fecundity in thoroughbred racehorses. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character. 1899, 192, 257–330.

　　

　　 [6] Blyth, Colin R. On Simpson’s paradox and the sure-thing principle. Journal of the American Statistical Association. 1972, 67(338), 364–366.

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