史宁中:漫谈数学的基本思想

选择字号:   本文共阅读 1368 次 更新时间:2016-11-13 19:20:36

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史宁中  

   数学思想是数学文化的核心,因为数学文化是数学的形态表现,可以包括:数学形式、数学历史、数学思想。其中思想是本质的,没有思想就没有文化。

   一、数学思想是什么

   数学思想需要满足两个条件:一是数学产生、发展过程中所必须依赖的那些思想,二是学习过数学的人所具有的思维特征。可以归纳为三种基本思想:抽象、推理和模型。通过抽象,把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部,形成数学研究的对象;通过推理,得到数学的命题和计算方法,促进数学内部的发展;通过模型,创造出具有表现力的数学语言,构建了数学与外部世界的桥梁。

   二、什么是抽象

   数学抽象包括:数量与数量关系的抽象,图形与图形关系的抽象。通过抽象得到数学的基本概念:研究对象的定义,刻画对象之间关系的术语和运算方法。这是从感性具体上升到理性具体的思维过程,只是第一次抽象。在此基础可以凭借想象和类比进行第二次抽象,其特点是符号化,得到那些并非直接来源于现实的数学概念和运算方法。

   数量与数量关系的抽象。数学把数量抽象成数;数量关系的本质是多与少,抽象到数学内部就是数的大小。由大小关系派生出自然数的加法。数的四则运算,都是基于加法的。数学还有一种运算,就是极限运算,这涉及到数学的第二次抽象,微积分的运算基础是极限。为了合理解释极限,1821年柯西给出了ε-δ语言,开始了现代数学的特征:研究对象的符号化,证明过程的形式化,逻辑推理的公理化。数学的第二次抽象就是为这些特征服务的。

   图形与图形关系的抽象。欧几里得最初抽象出点、线、面这些几何学的研究对象是有物理属性的,随着几何学研究的深入,特别是非欧几何学的出现,人们需要重新审视传统的欧几里得几何学。1898年希尔伯特给出了符号化的定义,基于五组公理,实现了几何研究的公理体系。这些公理体系的建立,完成了数学的第二次抽象。至少在形式上,数学的研究脱离了现实,正如希尔伯特所说:无论称它们为点、线、面,还是称它们为桌子、椅子、啤酒瓶,最终得到的结论都是一样的。

   三、什么是推理

   数学主要依赖的是逻辑推理,通过推理形成各种命题、定理和运算法则。虽然数学逐渐形成各个分支,甚至形成各种流派,但因为研究的出发点是一致的,推理规则是一致的,因此,至少到现在的结果表明,数学的整体一致性是不可动摇的。数学似乎蕴含着类似真理那样的合理性。

   推理是指从一个命题判断到另一个命题判断的思维过程,命题是可供判断的语句;有逻辑的推理是指命题内涵之间具有某种传递性。有两种形式的逻辑推理,一是归纳推理,一是演绎推理。归纳推理是命题内涵由小到大的推理,是一种从特殊到一般的推理,通过归纳推理得到的结论是或然的。借助归纳推理,从经验过的东西出发推断未曾经验过的东西。演绎推理是命题内涵由大到小的推理,是一种从一般到特殊的推理,通过演绎推理得到的结论是必然的。借助演绎推理可以验证结论的正确性,但不能使命题的内涵得到扩张。

   数学结论之所以具有类似真理那样的合理性,正是因为推理过程遵循了这两种形式的推理。

   四、什么是模型

   数学模型与数学应用有所区别:数学应用可以泛指应用数学解决实际问题的所有事情,数学模型更侧重于用数学的概念、原理和思维方法描述现实世界中的那些规律性的东西。数学模型使数学走出数学的世界,构建了数学与现实世界的桥梁。通俗说,数学模型是用数学的语言讲述现实世界的故事。

   数学模型的出发点不仅是数学,还包括现实世界中的那些将要讲述的东西;研究手法需要从数学和现实这两个出发点开始;价值取向也往往不是数学本身,而是对描述学科所起的作用。但是,数学家们在构建数学模型和实际应用的过程中,必然会从数学的角度汲取"创造数学的"的灵感,促进数学自身的发展,就像冯?诺伊曼所说过的那样。

  

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